Question

おもち

解説お願いします🙇🏻‍♀️

f(x)=x2-2(k-1)x+k+5とする。 y=f(x) のグラフを考えることにより,
2次方程式 f(x)=0が次のような解をもつためのkの条件を求めなさい。
(1) 異なる2つの実数解をもつ
(3) 異なる2つの正の解をもつ
(2) 正の解と負の解をもつ
(4) 少なくとも1つの解が1と4の間にある

Answer 1

✨ Best Answer ✨

かき

(1) はわかりませんか？

おもち

1はできました🙆🏻‍♀️

かき

よかったです。

まず、解は2次関数のグラフとx軸との交点のx座標です。
そして、この関数のx^2の係数は+1 でプラスなので、形は下に凸型です。
これを踏まえてかんがえます。

(2)
x軸との交点が、2つあってそれらのx座標が一つはプラス、一つはマイナスです。
x=0ゼロを挟んで両側にあります。
ということは、グラフを考えると、x=0 のときのグラフ上の点は、必ずy<0の領域にありますね。
描いてみるとわかると思います。

よって、(2)の条件は、f(0) < 0 です。
これを解いてkの範囲を算出します。

おもち

ありがとうございます！なぜx=0のときのyを考えるのでしょうか？

かき

解がプラスとマイナスに分かれてるので、その境界のx=0を考えます。
例えば、問題が、
「解の一つは1より大きく、もう一つは1より小さい」
だったら、x=1 を考えます。

かき

こんなのも参考に見てみるとよいです

https://study-line.com/nijikan-hanjikutan/#rtoc-4

おもち

xが0出ない場合、解がどちらも正であったりするけど、x=0と決めて、そのy座標が0より小さいとすれば、必ず正にも負にも解があるからこの場合を考える、という解釈であっていますか？

かき

ごめんなさい、ちょと言われてることが理解できなくって🙏　もうちょと教えてください。
解が正負に分かれてるから、境界のx=0を考える、ですね。

おもち

すみませんでした。もう一度考えたところ、理解できました。34も解説お願いします🙇🏻‍♀️

おもち

すみません、4だけで大丈夫です💦

かき

あ〜、ごめんなさいね、質問理解できなくって。
わかりました。4説明書きますね

かき

貼りますね

かき

続きです

かき

補足ですが、パターンBのときの、④の条件は、f(x)=0の判別式≧0と同じことになります。
グラフで考えなさい、だったので、あえて判別式は使わないように書きました。

おもち

ありがとうございます！AとCですが、どちらも解が1〜4の範囲にある時と範囲にないとき1つずつなのに、なぜ分けて考えるのでしょうか？1や4は範囲外ですよね？

かき

鋭い着眼点ですね❗️
すみません、実はそこの説明をしてなかったなぁと思ってた次第です。

そうなんです。わざわざ分けてるのには意味があるんです。
Aのケースでは、1<x<4の範囲に交点が1つあるということを条件として示すのに、f(1)とf(4)が異符号だということを利用してます。
しかし、Cのように、x=1やx=4がx軸との交点の一つであるケースで、かつもう一つの交点が 1<x<4に存在するケースも可能性として残ってます。でも、このケースのときは、f(1)=0 またはf(4)=0なので、Aのケースと同じ方法である f(1)f(4)<0 は使えません。
そのため、わざわざCのケースとして、分けて考えて解きます。

わかりますか？

かき

なかなか文字だけでは伝わらないかもしれませんね。直接話して教えたいくらいです。

おもち

すごく理解できました！この問題授業でやったのですが、解説が速く、友達に聞いても分からないと言われ、諦めそうでしたが、分かって嬉しいです🥹ありがとうございます✨

かき

よかったです。
別の投稿でも書かれてましたが、2次方程式の解の存在範囲の問題は、2次関数のグラフを考え、
・下に凸か上に凸か
・端点条件
・軸の条件
・頂点のy座標
などを使って解きます。

あ〜、コツをお話ししたい〜

かき

この問題と同じような高レベルの例を扱ったサイトを、見つけたので、貼りますね。
最初の方に、誤る例の解説が載ってます。

https://examist.jp/mathematics/quadratic-function2/kainosonzaihani3/

おもち

ありがとうございます！