✨ Best Answer ✨
以下ベクトルaを↑aと書きます。
↑c=↑a+t↑bと↑a=(3,1),↑b=(1,2)から
↑c=(3+t,1+2t)
と表せる。|↑c|が最小のときは当然|↑c|²も最小になるので|↑c|²を考えます。
ベクトルの大きさと先程得た↑cの式から
|↑c|²=(3+t)²+(1+2t)²
=9+6t+t²+1+4t+4t²
=5t²+10t+10
これはtについての関数なので、この最小値を求めるために平方完成する。すると
=5(t+1)²+5
つまりt=-1で最小となると分かり、結果的に|↑c|もt=-1で最小になる。
t=-1での↑cはさっきの式に代入して
↑c=(3+(-1),1+2(-1))=(2,-1)
2本のベクトルが垂直
⇔2本のベクトルが成す角がπ/2
⇔内積が0
⇔ベクトル(a₁,b₁)と(a₂,b₂)においてa₁a₂+b₁b₂=0
今回は↑c=(2,-1)と↑b=(1,2)が明らかに条件を満たすので↑c⊥↑bが分かる。
以上より示されます
ありがとうございます！よく理解ができました！