√7-√4=√3て…
どれか2つを仮の大小を置いて、矛盾するかどうかを調べていきます。
その際、2乗を何度も行ってルートを取っていきます。
√19-4>√7-2 と仮定すると、
⇔ √19-2>√7 両辺2乗して
⇔ 23-4√19>7
⇔ 23-7>4√19 さらに2乗して
⇔ 256>304 これは矛盾する
したがって、√19-4<√7-2
√7-2>√11-3 と仮定すると
⇔ √7+1>√11 両辺2乗して
⇔ 8+2√7>11
⇔ 11-8<2√7 さらに2乗して
⇔ 9<28
したがって、√7-2>√11-3
√19-4>√11-3 と仮定すると
⇔ √19-1>√11 両辺2乗して
⇔ 20-2√19>11
⇔ 20-11>2√19 さらに2乗して
⇔ 81>76
したがって、√19-4>√11-3
よって、√7-2>√19-4>√11-3
すいません。
この解答で教師に聞いたら、このやり方はないと言われたのでどうか分かったらまた教えてください！
むむ。単純に大小だけわかれば良いのならこのやり方でもいいのですが、先生からすればちゃんと数学的に解けということなのでしょうか。
では、別のやり方を。
いずれかの式の差を取って、分子の有理化をします。
(√19-4)-(√7-2)
=(√19-√7)-2 ここでカッコの中だけ分子の有理化をします。
=(√19-√7)(√19+√7)/(√19+√7)-2
=12/(√19+√7)-2 通分して
={12-2(√19+√7)}/(√19+√7)
=(12-2√19-2√7)/(√19+√7)
<(12-2√16-2√4)/(√19+√7)
=(12-8-4)/√(19+√7)
=0
したがって、(√19-4)-(√7-2)<0 がいえる。
(√7-2)-(√11-3)
=(√7-√11)+1 カッコ内だけ分子の有理化をして
=(√7-√11)(√7+√11)/(√7+√11)+1
=-4/(√7+√11)+1 通分して
={-4+(√7+√11)}/(√7+√11)
>{-4+(√4+√4)}/(√7+√11)
=(-4+2+2)/(√7+√11)
=0
したがって、 (√7-2)-(√11-3)>0がいえる。
(√19-4)-(√11-3)
=(√19-1)-√11 分子の有理化をすると、
={(√19-1)²-(√11)²}/{(√19-1)+√11}
=(9-2√19)/(√19+√11-1)
=(√81-√76)/(√19+√11-1)
>0
したがって、(√19-4)-(√11-3)>0がいえる。
よって、√7-2>√19-4>√11-3
ありがとうございました。
これでやってみます。
ありがとうございます！