Question

ムラオカタラコ

295.296⑴.297⑵の解法を教えてください！！
答えは2枚目3枚目です。
詳しくおねがいします😭

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ぽーん

295
(n秒後) (n+1秒後)
PがAにある:p[n] →×0→ PがAにある:p[n+1]
PがAにない:1-p[n] →×1/3↗︎

よってp[n+1]=p[n]×0+(1-p[n])×1/3
=-1/3p[n]+1/3
これは、p[n+1]-1/4=-1/3(p[n]-1/4)と変形できる
数列{p[n]-1/4}は初項p[1]-1/4=1/3-1/4=1/12,
公比-1/3の公比数列だから
p[n]-1/4=(1/12)•(-1/3)^(n-1)
p[n]=1/4+(1/12)•(-1/3)^(n-1)
=1/4{1+(1/3)•(-1/3)^(n-1)}
=1/4{1-(-1/3)^n}

296
a[n+2]+3a[n+1]-4a[n]=0
これは次のように変形できる
a[n+2]+4a[n+1]=a[n+1]+4a[n]…①
a[n+2]-a[n+1]=-4(a[n+1]-a[n])…②
①より数列{a[n+1]+4a[n]}は
初項a[2]+4a[1]=2+4•1=6,公比1の等比数列だから
a[n+1]+4a[n]=6•1^(n-1)=6…①'
②より数列{a[n+1]-a[n]}は
初項a[2]-a[1]=2-1=1,公比-4の等比数列だから
a[n+1]-a[n]=1•(-4)^(n-1)=(-4)^(n-1)…②'
①'-②'より4a[n]+a[n]=6-(-4)^(n-1)
5a[n]=6-(-4)^(n-1)
a[n]={6-(-4)^(n-1)}/5

297
a[n+2]-6a[n+1]+9a[n]=0
a[n+2]-3a[n+1]=3(a[n+1]-3a[n])と変形できる
数列{a[n+1]-3a[n]}は初項a[2]-3a[1]=6-3•1=3,
公比3の等比数列だから
a[n+1]-3a[n]=3•3^(n-1)=3^n
両辺を3^(n+1)でわる
a[n+1]/3^(n+1) - a[n]/3^n = 1/3
a[n]/3^n = b[n]…①とおくと、b[n+1]-b[n]=1/3
数列{b[n]}は初項b[1]=a[1]/3=1/3,公差1/3の等差数列だから
b[n]=1/3+(n-1)•1/3
=1/3•n
①より a[n]/3^n=1/3•n
a[n]=(1/3•n)×(3^n)
=n•3^(n-1)