Question

彩華

a,bは実数とする。次の命題の真偽を調べ、真である場合には証明せよ。という問題で、
（2）a,b がともに無理数ならばa +b ,a－bの少なくとも一方は無理数である
がわかりません。
真であることは分かります。
対偶「a＋ｂ、a−ｂがともに有理数ならば、a,bの少なくとも一方が有理数である」を証明したらいい所まではわかります。この先の証明を教えてくださると嬉しいです。

集合と命題

Answer 1

✨ Best Answer ✨

LUX SIT

a=1/2{(a+b)+(a-b)};b=1/2{(a+b)-(a-b)}と書けます. [a+bとa-bでaとbをどう表現するか?が方針です.]
a+b∊Q, a-b∊Q⇒a∊Q, b∊Q [有理数の和・差は有理数, Qは有理数集合を表します.]
なので対偶が真であることは証明されました.
***
[参考]
aとbの最大, 最小値は
max(a,b)=1/2{(a+b)+|a-b|}
min(a,b)=1/2{(a+b)-|a-b|}
と書けます. 不等式の証明で便利なことがあるので形に馴染みましょう.

彩華

わざわざありがとうございます！！テストで解くことができました( *´꒳`* )