Question

さくら

どれでも大丈夫なので教えてください🙏

火の式の値を求めよ。

 355 ーー3マー4 のとき,
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Answer 1

LUX SIT

数学IAでx+(1/x)=2のとき, x^2+(1/x)^2やx^3+(1/x)^3を求める問題をやったと思います.
xを3^xに置き換えれば, この問題は本質的に同じだということが理解できるでしょう.
ただしxのときと違って, 3^x>0という拘束があるので少し考える必要がある問題もあります.
***
(1)
27^x-27^(-x)
=(3^x)^3-(3^(-x))^3
=(3^x-3^(-x))^3-3*3^x*3^(-x)(3^x-3^(-x)) [A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)=(A-B)^3-3AB(A-B)]
=(3^x-3^(-x))^3-3(3^x-3^(-x))
=4^3-3*4
=52.
***
(2)
(3^x+3^(-x))^2
=(3^x-3^(-x))^2+4*3^x*3^(-x) [(A+B)^2=(A-B)^2+4AB]
=4^2+4
=20
ここで3^x+3^(-x)>0なので
3^x+3^(-x)=√20=2√5.
***
(3)
(2)の結果を使って
3^x
=(1/2)*{(3^x+3^(-x)}+{3^x-3^(-x)}]
=(1/2)*(4+2√5)
=2+√5.
***
[別解]
3^x-3^(-x)=4の両辺に3^x>0を掛けて
3^(2x)-4*3^x-1=0
3^x>0に関する2次方程式と見て
3^x=2+√{2^2-(-1)}=2+√5. [3^x>0なので2-√5<0は解にならないことに注意しよう.]
***
分かりにくい時はA=3^x, 1/A=3^(-x), A>0のように置き換えて計算してもいいでしょう.