Question

ゆか

練習23の(1)、(2)が答えと合いません。
解き方、答え教えてください！

頂点を通る円を へABC の 外接円 と
いい. 外接円の中心を AABC の
 次の3点A, B, C を通る円の方程式を求めよ。
23 ① A(-2 0. B(-2.8. CO -り

6② A(① 3, B⑤5, -5), C(4, 2)

3点を通る円の方程式

Answer 1

✨ Best Answer ✨

LUX SIT

△ABCの外心は辺の垂直二等分線が交わる場所です.　
また円の方程式に着目するなら中心座標と３点の距離が等しく, それが半径に相当する, と考えることもできます.
***
(1)
辺ABの垂直二等分線はy=4, 辺ACの垂直二等分線はACの中点(-1/2. -1/2)を通り, ACの傾きが(-1/3)なので3である.
すなわちy=3(x+1/2)-1/2.　△ABCの外心はこの２直線の交点だから4=3(x+1/2)-1/2⇔x=1
すなわち3点A, B, Cを通る円の中心Oは(1,4). 半径は|OA|=√[{1-(-2)}^2+4^2]=5である.
求めたい円の方程式は(x-1)^2+(y-4)^2=25
***
[別解]
求めたい円の中心座標を(a, b), 半径をrとすると
(a+2)^2+b^2=(a+2)^2+(b-8)^2=(a-1)^2+(b+1)^2=r^2
b^2=(b-8)^2⇔{b-(b-8)}{b+(b-8)}=0⇔16(b-4)=0⇔b=4
(a+2)^2+16=(a-1)^2+25
⇔{(a+2)-(a-1)}{(a+2)+(a-1)}=9
⇔3(2a+1)=9⇔a=1
r^2=(4+1)^2=25
以上から円の方程式は(x-1)^2+(y-4)^2=25
***
(2)
辺ABの垂直２等分線はABの中点(3,-1)を通り, ABの傾き-2に垂直なのでy=(1/2)(x-3)-1
また辺ACの垂直２等分線はACの中点(5/2,5/2)を通り, ACの傾き-1/3に垂直なのでy=3(x-5/2)+5/2
この2つの垂直2等分線の交点が求めるべき円の中心Oで
(1/2)(x-3)-1=3(x-5/2)+5/2⇔(5/2)x=5/2⇔x=1, y=(1/2)(1-3)-1=-2
半径は|OA|=√{(1-1)^2+(-2-3)^2}=25
以上から円の方程式は(x-1)^2+(y+2)^2=25.
***
[別解]
求めたい円の中心座標を(a,b), 半径をrとすると
(a-1)^2+(b-3)^2=(a-5)^2+(b+5)^2=(a-4)^2+(b-2)^2=r^2
(a^2-2a+1)+(b^2-6b+9)=(a^2-10a+25)+(b^2+10b+25)⇔8a-16b=40⇔a-2b=5
(a^2-2a+1)+(b^2-6b+9)=(a^2-8a+16)+(b^2-4b+4)⇔6a-2b=10⇔3a-b=5
これを解くとa=1, b=-2, r^2=(1-1)^2+(-2-3)^2=25
以上より円の方程式は(x-1)^2+(y+2)^2=25.
***
下のやり方は計算の先行きを見通せないと泥沼にハマる可能性もあるでしょう.
どちらのやり方でも出来るように他の問題で練習しましょう.

ゆか

返信遅れてしまいすみません！
授業では、仕組みが分からず公式が使えなかったのですが、謎が解けました！
すごく分かりやすかったです！ありがとうございました😊