✨ Best Answer ✨
確かにこの解答は天下り的で分かりにくいかもしれません.
三角比はその名前の通り, 直角三角形の二辺の比で与えられます.
したがって三角比の関係する問題では辺の比が分かれれば上手く解けると考えるのが自然です.
辺の比を導く式は
(b+c)/4=(c+a)/5=(a+b)/6
ですが, 原理的には(b+c)/4=(c+a)/5, (c+a)/5=(a+b)/6を解けばOKです.
実際にやると
5(b+c)=4(c+a)⇔4a-5b=c, 6(c+a)=5(a+b)⇔6c=-a+5b
⇔6c=6(4a-5b)=-a+5b
後ろの関係から25a=35b⇔5a=7b
また5*6c=5(-a+5b)=-5a+25b=-7b+25b=18b⇔5c=3b
以上からa=7k, b=5k, c=3kと表せることが分かります.
***
この方法だと計算が面倒なので
(b+c)/4=(c+a)/5=(a+b)/6=s
と置くことで工夫します.
sは計算の工夫のために設定しただけで"深い意味はありません".
そうすると
b+c=4s, c+a=5s, a+b=6s
a+b+c=(4s+5s+6s)/2=15s/2
となって簡単に計算ができることが分かります.
"出来れば整数だけで計算したい"のでs=2kとすれば
b+c=8k, c+a=10k, a+b=12k
→a+b+c=(8k+10k+12k)/2=15k
⇔a=7k, b=5k, c=3k
と目的を達成することが出来ます.
***
解答はそれらをすべて見越して共通の値を2kと設定しているわけです.
計算技術的には共通の値kを設定するところに意義があるので
(b+c)/4=(c+a)/5=(a+b)/6=k
と置けていれば問題ないと私は考えます.
丁寧に解説して頂いて助かりました。
ありがとうございました！
[補遺]
辺の比が一定⇔三角形は相似⇔対応する三角はすべて等しい
ということは中学の幾何で習ったと思います.
この考え方に沿えば
(b+c)/4=(c+a)/5=(a+b)/6=2⇔a=7, b=5, c=3
を基準の三角形として, "辺がk倍"の相似な三角形
(b+c)/4=(c+a)/5=(a+b)/6=2k⇔a=7k, b=5k, c=3k
を構成したとみなすことが出来ます.
kは実数なので基準と相似な三角形をすべて表すことが出来ます.
kに図形的な意味をもたせるなら, このような説明になるでしょう.