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aは、上に凸か下に凸かをみます。
bは、軸がy軸のどちら側にあるかみます。
たぶん平方完成してみれば分かりやすいかと。
cは、y切片の正負をみます。
判別式のやつはx軸と共有点をいくつもつかみます。

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