✨ Best Answer ✨
(1/6)(x^2+2)^3を微分してみればわかります。
(1/2) (x^2+2)^2・2x = x(x^2+2)^2
合いません。
2乗を3乗にして、その3で割って、
中身x^2+2を微分したもので割って、
というのは、中身が1次式のときだけです。
素直に(x^2+2)^2を展開してから
積分するとよいかと思います。
その解答の式を微分すると
2x(x^2+2)^2
=2x^5+8x^3+8x
で、元に戻りません。
写真の解答がおかしいか、最初の問題が違うのでは？
なにかのテキストですか？
(｀ω´ )≡3
では、疑問は解消しましたか？
このような、
■^2に(■を微分したもの)がかけられている
（今回は■=x^2+2。■を微分したら2x。）
場合、これを積分すると(1/3)■^3になります。
部分積分法を使おうと思ったのですが、先に(x^2+2 )^2を展開して積分、2xを微分で考えていいんですか？
展開ミスです。
2行目で-2を( )の中の最後の項2x^2にかけるわけですが、それを3行目で-x^2にしてしまっています。
正しく最後までやれば、答は
(1/3)x^6 +2x^4 +4x^2 +C
です。模範解答とは形式が違いますが、単なる定数違いなので丸になります。
（模範解答の式を展開すれば定数違いになる）
それよりも、この問題では部分積分は使わなくて結構です。使ってもいいですが、大変です。（部分積分は最終手段の類です）
この解き方では、どうせ展開しているのですから、最初の2乗を展開したあと2xを( )にかけ、完全に展開してから積分するだけで済みます。
もっと適切な方法があります。
この問題は部分積分ではなく置換積分です。
（x^2+2 = t と置換）
貼ってもらった赤文字の解答では、それをテクニック的に（と言ってもよくある手法ですが）使っているだけです（その手順は上の回答でも述べました）。
なるほど！ありがとうございます！
たしかに最初に展開しきった方が楽でした。
本番で気づくかどうかは慣れですかね…
回答を展開した時の8はcとして含まれるので何の数字になっても回答として丸ってことですよね？
部分積分の優先順位が高すぎるから、気づかないのだと思います。展開が基本であることは言うまでもありません。部分積分はせずに済むに越したことはありません。
また、改めて強調しますが、展開してもできますね、ということであって、展開するような問題ではありません。置換積分（から派生するテクニック的処理）が標準的解法です。
後半については、その通りです。
ありがとうございます！
ありがとうございます！