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具体的に2枚目の解答のどこが分からなかったとかありますか？
問題文のbn=〜の置換を利用してという部分の誘導に乗るとそうなりますね。
bn=〜の分母にan-2があることから、an+1-2=なんちゃらan-2という形の漸化式にすると、an+1-2はbn+1で表せるし、an-2も問題文よりbnで表せるので、それぞれそのように置き換えてbn+1=なんちゃらbnみたいな感じでbnの漸化式が作れることを予想して解くのがコツですね…！
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1行目ってなぜ、両辺から2を引いてるんですか？