問題文を見ていないので恐らくでしか言えません。問題の系統を予想しながら書くので、間違っていたら問題文の提示をお願いします。
場合分けをする理由は、
「a＞0の時とa≦0の時で問題文に示された関数の値域が変わる」
からだと思います。そして、それぞれの場合の最大値と最小値が範囲内にあるという条件を、不等式として表して、解いているのだと思います。また、この時は場合分けを表した不等式（a＞0 や a≦0）を解に入れ忘れないように気を付けましょう。
そして、最後は２つの場合のaの範囲を足し合わせて最終的な回答の完成です。
といった予想です。
先程も書いた通り問題文を予想して書いただけですので、理解できなければ、問題文の提示をお願いします。
これであれば、自分が先ほど書いたものと、同じ要領で出来ますね。
まず、今回の大まかな解き方です。
@@@@@@@@
3a-5 ＜ (値が小さい方の解)
(値が大きい方の解) ＜ 3a+5
@@@@@@@
これで、問題に示された範囲内に解があることの条件を立てられました。
ここで、2解の値の大小はaの値によって変わるので、その場合分けをします。それが(i)(ii)ですね。そして、その場合分け内部で先ほどの@で囲んだ部分を解きます。
最後にその範囲を足し合わせて、終わりです。
この解き方が分かりずらいのであれば、題意からそのまま立式して、
3a-5＜a+1＜3a+5
3a-5＜(a+3)/2＜3a+5
を連立不等式として解いてみましょう。そうすると、場合分けする解法の意図も掴めると思います。
途中で書いた
「値域」
は、正しくは
「定義域」
です。すみません。