✨ Best Answer ✨
少し雑な図ですが、単位円を考えてみてください。
赤線(0≦x<1/2,x=1)のときはx=sinθを満たすθは一つのみですが
青線(1/2≦x <1)のときはx=sinθを満たすθは二つ存在します。
pとqに置き換えてる理由は特にないと思います。
見やすさを意識したのだと思いますが正直僕はp,qを使わない方が好みです。
上の図において
x=sinθ=1/3あたりを考えてみてください。
1/2は図に記述してる通りなのでその下辺りにあると考えます。つまり単位円の0≦θ≦5π/6の範囲ではsinθ=1/3となるθは1つだけとなります。
これをθの数が変化するまで考えると
sinθ≧1/2のときにθが2つ存在し、sinθ=1のときはθ=π/2のみになるので、θが1つのときと2つのときで場合わけをしています。
なるほど、ありがとうございます！
すみません、一つ質問させて下さい。
0≦x<1/2のときθは1つ、
1/2≦x<1のときθは2つ、
x＝1のときθは1つ存在するのは分かったのですが、
実数解を3つ持つ解答となる部分の範囲が
f(0)≦a<1とf(1/2)≦a≦f(1)の2つではなく、
f(1/2)<a<f(1)となっているのはなぜでしょうか…？また、等号がないと実数解が2つになるのではないのでしょうか？
θが3つの実数解を持つのは
y=f(x)とy=aの交点が２つ存在し、一方のxに対してはθが2つ、他方のxにはθが1つ対応するときです。
例えば
y=f(0)=2とy=f(x)の交点のx座標はx=0のみとなり、
x=sinθ=0を満たすθはθ=0だけなので不適です。
y=f(1)=3とy=f(x)の交点のx座標はx=α,1(0<α<1/2)です。(3を代入して因数分解すればα=1/4となりますが具体的な値までは必要ありません。0 <α<1/2が重要です。)
x=α=sinθを満たすθは0≦θ≦5π/6に１つ存在、
x=1=sinθを満たすθはθ=π/2だけなので計2つで不適
y=f(1/2)=7/2とy=f(x)の交点のx座標はx=1/2,β(1/2<β<1)です。
x=1/2=sinθを満たすθはθ=π/6,5π/6の2つ
x=β=sinθを満たすθは0≦θ≦5π/6に2つで計4つより不適
このように
aに対応するxの個数
xに対応するθの個数
のように段階を踏んで調べるのが確実です。
二つのグラフを一体化させて直感的に範囲を出す方法もありますが、まずは一つずつ丁寧にすることをお勧めします。
ご丁寧にありがとうございます、理解できました！
ありがとうございます！
0≦p<1/2、p＝1と1/2≦q<1 の2つの範囲の出し方と、なぜ範囲を2つ出すのかも教えていただけますか？
また、pとqに置き換える理由がわからないのですがxのままでも大丈夫ですかね…？