Question

優蘭

軌跡の問題で、
点Qが直線y=x+2 上を動くとき、点A(1,6)と点Qを結ぶ線分AQを2:1 に内分する点Pの奇跡を求めよ。

という問題の解き方が分かりません。
教えてください、、！

数ⅱ 軌跡と領域 軌跡 内分

Answer 1

✨ Best Answer ✨

気まぐれ屋さん

点Qを文字を使って表し、内分する点を求めます。
求めた内分する点のx座標とy座標をX,Yを使って表し、XとYの関係性を調べます。

気まぐれ屋さん

別の方が書かれていますが、
この場合逆に〜の記述はなくても大丈夫だと思います。
なぜなら扱っているのが一次関数でかつ全てのx,yで成立しているからです。また、このような単純なものはどの場合においても同値であることは明らかだからです。

逆に〜を記述すべきなのは例えばx=1/t^2+1,y=1/t^2-1
の場合など、記述する上で明らかに同値であることがわからないものや、定義域、値域に気を付けなければならない時などです。また、両辺を二乗して処理した場合も逆が成り立つか確認すべきですね！

文字を置くときは必ずどういう数をなんの代わりに置いたかを必ず書かないと減点されます。s,tが実数であることをしっかり記述しましょう。

けいぽん！

私の場合は馬鹿の一つ覚えのようにすべての問題で「逆に」と確認していましたが、気まぐれ屋さん氏の言う通り一次関数程度では不要でしょう。

Answer 2

けいぽん！

点Qの座標を(a,b)とおきます。((p,q)とかでもなんでもいいです。)そのときの点Pの座標は(X,Y)とします。(こちらも記号はなんでもいいです。)点Pは線分AQを2:1に内分する点なので、X=(2a+1)/3,Y=(2a+6)/3が導けます。これを式変形すると、a=(3X-1)/2,b=(3Y-6)/2が求まります。さて、点Qは直線y=x+2上の点でしたから、x=a,y=bを代入して、b=a+2も求まります。a=(3X-1)/2,b=(3Y-6)/2を代入すると、最終的にY=X+3が求まります。ここでは点Pの座標をx=X,y=Yとしているので、y=x+3が点Pの軌跡となります。

奇跡の問題は十分条件を確認するために、最後に点P(x,y)がy=x+3を常に満たすかどうか確認する必要があります。模範解答では「逆に～」と書いてある部分です。

軌跡と領域