Question

ゲスト

難しいのですが解答解説お願い致します🤲

EE  .
極方程式 アニュー が表す曲線をCとする。

1) 画線 C を直交座標の方程式で表し, その概形をかけ。

(2) %軸の正の部分と曲線Cが交わる点をPとする。点Pにおける曲線Cの
接線の方程式を求めよ。

(3) 曲線C の第 1 象限の部分とx軸およびy軸で囲ま れた図形の面積を求め
才                                              [09 徳島大]

Answer 1

✨ Best Answer ✨

LUX SIT

慣れれば難しい問題ではありませんよ.　
今年受験するのでしたら, こういう問題を絶対に完答できるようになってほしいです.
***
(1)極座標表示x=rcosθ, y=rsinθ, x^2+y^2=r^2の逆像を考えます.
極方程式からr≠0なのでsinθ=y/rで, これを代入すると
r=3/(2+(y/r))⇔2r+y=3⇔3-y=2√(x^2+y^2)
ここでy≦3であることに注意して, 両辺を2乗すると
(3-y)^2=4(x^2+y^2)⇔4x^2+3y^2+6y=9⇔4x^2+3(y+1)^2=12
⇔x^2/(√3)^2+(y+1)^2/(2)^2=1
この楕円はy≦3にあるので, あとは図示すればいいです.
[GeoGebraなどを利用して確認するといいでしょう]
***
(2) x軸はy=0で表されます. したがってx>0にある点Pのx座標は4x^2=9⇔x=3/2
また4x^2+3(y+1)^2=12上の点(x, y)に置ける接線の傾きは両辺微分すると
8x+6(y+1)(dy/dx)=0⇔dy/dx=-4x/3(y+1)
したがって点P(3/2, 0)における接線の傾きはdy/dx=-2で, 接線の式はy=-2(x-3/2)=-2x+3.
***
(3) 楕円の軸がx軸, y軸に平行であることに注意する. x軸方向に2/√3倍拡大すると
円X^2+(Y+1)^2=4 [座標変換したのでX, Yと書きました]で, この第一象限部分は
半径2中心角π/3の扇形から, 直角を挟む二辺の長さが1, √3の直角三角形を除いたもので
面積は2^2*π*((π/3)/(2π))-(1/2)*1*√3=(2π/3)-(√3/2)
元の座標系に戻すと, 面積は(√3/2)*{(2π/3)-(√3/2)}=(π/√3)-1.
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積分で地道に計算してもいいですが, 座標変換がうまく利用できる場合は時間を大幅に節約できます.
一次変換が教えられていた時は定番の方法だったのですが, x軸, y軸方向の伸縮は現行課程でも理解できると思います.

ゲスト

ありがとうございます😊
たくさん問題解いて慣れるよう頑張ります。