2次関数f(x)を、積分するとF(x)になるので、F(x)は3次関数とわかり、
F(x)=ax³+bx²+cx+d
とすると、
f(x)=3ax²+2bx+c…②
また、②にx=tを代入し、0〜xにかけてtで定積分すると、
ax³+bx²+cx
=F(x)…①
となるので、d=0というのがわかる。
②の判別式Dは、異なる2つの実数解を持つ為には、
D/4=b²-3ac>0である必要がある。
つまり、題意を満たすには
b²-3ac>0…⑥
を示せば十分。
F(x)=0における解を小さい順からαβγとすると、
解と係数の関係より、
α+β+γ=-b/a…③
αβ+βγ+γα=c/a…④
αβγ=-d/a=0/a=0…⑤
問題文より、
|α|=|γ|であり、①は異なる3つの実数解を持つので、
|α|≠|γ|≠0
また、
α=γ=-α
したがって、⑤より、
β=0
よって
③
α+γ=α-α=-b/a=0
a≠0より、b=0
④
αγ=c/a
α²=-c/a
-c=aα²
よって
⑥
0+3a²α²>0
題意は示された。
訂正
「したがって、⑤より、」行のひとつ上の行にある
「α=γ=-α」
は数式的に正しくない表現でした。
正しくは
「-α=γ」
です。