a=bならば最大公約数も最小公倍数もa[=b]になってしまいます.
逆に考えると, 2つの自然数の最大公約数と最小公倍数が違う値ならば, 両者の間に大小関係があるといえます.
また大小関係を無視すると, 36と432, 432と36, 108と144, 144と108のように組み合わせが無駄に増えてしまいいます.
つまりa<bと設定することで, 問題の見通しをよくすること出来るわけです.
***
2つの自然数をa, bとします. 最大公約数と最小公倍数の値が異なるのでa<bとしても一般性は失われません
[b>aの場合だと組み合わせが入れ替わるだけです. この場合の一般性が失われない[WLOG]理由はこの対称性です].
条件から, 互いに素なa', b'を用いてa=36a', b=36b'; 432=36a'b'と書くことが出来ます
[これは最大公約数と最小公倍数の定義を考えれば, これは分かると思います].
a<bなのでa'<b'がいえます. また後者の式からa'b'=12=2^2*3を得ます.
ここでa', b'は共に12の約数でその積が12. またa'とb'は互いに素なので(a', b')=(1, 12), (3, 4)と決まります.
したがって(a, b)=(36, 432), (108, 144)[a=36a' b=36b'を使います]と2つの自然数の組が求まりました.
Mathematics
Senior High
この問題の解説がわかりません。なぜa<bとするのかというところから、全体的な流れが理解できないです‥どなたか解説していただけないでしょうか？😭
NIIいて ペン 人めん <
ーー
な 2 つの自狼数
| 最大公約数が 36, 最小公倍数が 432 であるよう
の組をすべて求めよ。
暗示める2つの自然数を oc。5 (。くの5) とすると 最大公約数が
36 であるから, 2 つの自然数は互いに素な自然数
の の を用いて, -義
2 MO 9000 (0002の0①
とおける。
きらに, 最小公倍数が 432 であることから, Sa
のXがX36三432 が成り立つ。 CST
六2のきつ Z が 碗 |
1 選
と が は互いに素な自然数で のくの であるから。 | る
の三] の一12 まだは の2ソス ム
了 よって, ①より求める 2 つの自然数の組は, を 【
00222 108ど194
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