解説の「2または6」はどのような考えで導かれるんでしょう、、

346 基本例題(全体)(･･･でない)の考えの利用 00 |大、中、小3個のさいころを投げるとき, 目の積が4の倍数になる場合は何通り あるか。 [東京女子大] 指針「目の積が4の倍数」を考える正攻法でいくと,意外と面倒。 そこで, (目の積が4の倍数)=(全体) (目の積が4の倍数でない) 基本ク として考えると早い。ここで, 目の積が4の倍数にならないのは,次の場合である。 [1] 目の積が奇数3つの目がすべて奇数 [2] 目の積が偶数で, 4の倍数でない→ 偶数の目は2または6の1つだけで、他の 奇数 早道も考える CHART 場合の数 (Aである) = (全体)(Aでない)の技活用 わざ 目の出る場合の数の総数は 解答 目の積が4の倍数にならない場合には,次の場合がある。 [1]目の積が奇数の場合 6×6×6=216(通り) (3) の 3×3×3=27 (通り) 3つの目がすべて奇数のときで [2] 目の積が偶数で 4の倍数でない場合 積の法則 (63 と書いても よい。) 奇数どうしの積は奇数 1つでも偶数があれば 積は偶数になる。 3つのうち2つの目が奇数で、残りの1つは2または64が入るとダメ。 の目であるから (32×2) ×3=54 ( [1], [2] から, 目の積が4の倍数にならない場合の数は 27+54=81 (通り) よって、目の積が4の倍数になる場合の数は 法則 216-81=135 (通り) (全体) (・・・でない) +1)(S+S+1) 検討 目の積が偶数で、4の倍数でない場合の考え方 上の解答の [2] は,次のようにして考えている。 大,中,小のさいころの出た目を (大,中,小) と表すと、3つの目の積が偶数で, 4の倍数 にならない目の出方は,以下のような場合である。 (S+S+I) (大,中,小) = (奇数, 奇数 2または6) 3×3×2通り =(奇数, 2または6,奇数) よって 3×2×3 通り =(2または6,奇数, 奇数) (32×2)×3通り 2×3×3 通り (ii)2つの目が偶数で, 残り1つの目が奇数 (32×3)×3通り (ii) 1つの目が4で、 残り2つの目が奇数 参考目の積が4の倍数になる場合の数を直接求めると、次のようになる。 (i) 3つの目がすべて偶数 3通り 合わせて 27+81 +27 →(1×32) x3通り 135(通り) 練習 大,中, 小3個のさいころを投げるとき、次の場 ③ 9 (1)目の積が3の

メネラウスの定理って、使う前に最初三角形△☆○と直線¥$って記述すると思うんですけど，その時の三角形と直線の選び方がわかりません。 参考として、写真をつけました 教えてください、おねがいします

336 数学A 練習 右の図のように,△ABCの外部に点があり, 直線AO, BO, CO ②83 が、 対辺BC, CA, AB またはその延長と,それぞれ点P,Q,R で交 わる。 (1) △ABCにおいて,チェバの定理が成り立つことを, メネラウス の定理を用いて証明せよ。 (2) BP:PC=2:3,AQ:QC=3:1 のとき, 次の比を求めよ。 (ア) BOOQ (イ) AP: PO (1) ABP と直線RC について, メネラウスの定理により BC PO.. AR ·=1 CP OA RB ① △ACP と直線 BQについて, メネラウスの定理により BP OA QC CB POAQ_ =1 ② BC BP AR QC ①②から =1 CP CR RB AQ したがって BP CQ AR =1 B ←メネラウスの定理を適 用するときは、対象とな る三角形と直線を明示す る。 PC QARB (2) (ア) ABCQ と直線AOについて, (イ) メネラウスの定理により BO QA CP OQ AC PB すなわち BO 3 1. ·=1 3 . =1 OQ 3-1 2 BO 4 OQ 9 から BO:OQ=4:9 ACP と直線 BQについて, メネラウスの定理により B R (イ)別解 [(ア)の結果を利用] △BPO と直線AQ につ いて、メネラウスの定理 により PB CQ AO BC QA OP すなわち 2 1 AO 2+3 3 OP AO:OP=15:2 AO 15 から OP 2 よって AP:PO=13:2 3 B R 練習 ABC の辺ABを12に内分する点をM,辺BCを3:2に内分す 084 AN & CMO OQ BC PA =1 QB CP AO 9 2+3 PA . 4+9 3 AO PA AG-1 から AO PA:AO=13:15 したがって AP:PO=13:2 =1 ある線分

青く囲った部分で軸が二分の一されるのはなんでですか

練習 2次関数y=-x+(m-10)x-m-14のグラフが次の条件を満たすように、定数の値の ② 126 を定めよ。 (1) x軸の正の部分と負の部分で交わる。 (2) x 軸の負の部分とのみ共有点をもつ。 f(x)=-x2+(m-10)x-m-14とし 2次方程式(x)=0の(1) 判別式をDとする。 y=f(x) のグラフは上に凸の放物線で, そ の軸は直線x=- m-10 である。 2 (1) y=f(x) のグラフがx軸の正の部分と負の部分で交わるた めの条件は f(0)>0 f(0) =-m-14 から -m-14>0 よって m< - 14 VA -m-14 (2) y=f(x) のグラフがx軸の負の部分とのみ共有点をもつた (2) 0 (軸)<0 めの条件は,次の [1] [2] [3] が同時に成り立つことである。 [1] D≧0 [2] 軸がx<0 の範囲にある D≧0 [3] f(0) < 0 [1] D=(m-10)2-4⋅(-1) (-m-14) =m²-24m+44=(m-2)(m-22) D≧0 から (m-2)(m-22)≥0 m-10 x軸に接する場 含める

例題6についてです。㈠の（あ）についてです。赤意識がわかりません。

解答 重要 例題 6 n桁の数の決定と二項定理 (1) 次の数の下位5桁を求めよ。 (ア) 101100 22900で割ったときの余りを求めよ。 (イ) 99100 [類 お茶の水大 ] 基本1 指針 (1) これらをまともに計算することは手計算ではほとんど不可能であり,また, それ を要求されてもいない。 そこで、 次のように 二項定理を利用すると,必要とされ る下位5桁を求めることができる。 これを二項定理により展開し、各項に含ま (2) (ア) 101100= (1+100)'= (1+102) 100 れる 10" (n は自然数) に着目して, 下位5桁に関係のある範囲を調べる。 (イ) 992=(-1+100)'= (-1+102) 100 として, (1) と同様に考える。 (割られる数) = (割る数)×(商)+(余り) であるから, 29900で割ったと きの商をM, 余りをとすると, 等式 29900M+r (Mは整数 0≦x<900) が成 り立つ。 291 (30-1)であるから,二項定理を利用して, (30-1) を900M+r の形に変形すればよい。 (1) (7) 101100=(1+100) 100=(1+102) 100 =1+100C×102+100C2×10+10°×N =1+10000+ 495×105 + 10° × N (Nは自然 この計算結果の下位5桁は,第3項,第4項を除いて も変わらない。 <展開式の第4項以下を とめて表した。 10"×N (N, nは自然 5)の項は下位5桁 計算では影響がない。 よって, 下位5桁は 10001 (イ) 99100(-1+100)=(-1+102) 100 =1-100C1×102+100C2×10' + 10°×M =1-10000+ 49500000 + 10°×M =49490001+10°×M (Mは自然数) この計算結果の下位5桁は,第2項を除いても変わら 展開式の第4項以下 とめた。 なお, 99100 100 桁を超える非常 きい自然数である。 ない。 よって, 下位5桁は 90001 (2) 2951(30-1)51 900=302 =3051-51C1×3050+ 51C49×302+ 51C50×30-1 =302(3019-51C1×3048+・・・・ (-1)'は -51C49) +51×30-1 が奇数のとき =900(301-51C1×3048+-51C49) +1529 =900(301-51C1×3048 + ここで,304-51C1×3048+-51C49+1 は整数である から 2951 を900で割った余りは 629 である。 rが偶数のとき -51C49+1) +629 1529=900+629 | 練習 (1) 101'5 の百万の位の数は である。 62211400で割ったときの余りを求めよ。 [類

注意の部分の式はどういう意味ですか？？？？

10 よって,積の法則により、次の等式が成り立つ。 C3×3!=Pa したがって 1C3= 4P3 4.3.2 3! 3.2.1 =4 5 同じように考えると,n個から個取る組合せの総数につい Crxr!=mP, となるから = nC, nPr r! nCr 関係式 したがって, C, は次の式で表される。 組合せの総数 n Cr r18 nCr = n Pr r! n(n-1)......(n-r+1) r(n-1)3・2・1 注意 とくに,nC1=n, nCn=1である。 個 n! また、nCr= とも表される。 r!(n-r)! この式が =0,r=nでも成り立つように,C=1,0!=1 組合せの総数 8 5人から3人を選ぶとき, 選び方の総数は 3個の数の積 5.4.3 5C3 = =10(通り) 3.2.1 ③ 個の数の積 練習 次の値を求めよ。 24 (1) 7C3 (2) 4C2 (3) C. (4) 練習 次のような選び方の総数を求めよ。 25 (1)8人から2人を選ぶ。 (2) 6色から4色を

数IIの問題です。(2)について、なぜk>0になるのでしょうか？ 例えばk=1の場合切片はk/3なので1/3となり、円は一部しか入らないので不適ではないかと思ったのですが、、 拙い日本語ですみません、どなたかご回答よろしくお願いします🙇

練習 x, yは実数とする。 ② 131 (1) x2+y2 <4x-3ならばx2+y2>1であることを証明せよ。 (2)x2+y2≦x+3y≦kの十分条件となる定数の値の範囲を求めよ。 (1) x2+y^<4x-3から (x-2)2+y^<1 P={(x, y) (x-2)2+y^<1}, Q={(x, y)|x2+y^>1} とすると,図から,PCQが成り立つ。 y x2+y2>1 ーム8 DO P 13 したがって, x2+y^<4x-3ならばx2+y2>1が成り立 つ。 (x-2)2+y2<1 (2) P={(x, y)|x2+y2≦4}, Q={(x, y)|x+3y≦k} とすると x2+y2≦4⇒x+3ykが成り立つための条件は PCQ 01 01294 >= k 3 よって, 図から ②左 |-k| -2 ん > 0 かつ ≧2 √12+32 @0201-+ 2 O ゆえに|-|≧2√10 2 よって k≦-2√10,2√10≦k 0-01- k>0 との共通範囲をとって k≥2/10 3 02 (as 0212242 [Q]]]

漸化式 階差型 こちらの問題でいつも検討の方がスマートに思えて そっちしか覚えていないのですがやっぱり上も覚えた方がいいですかね、？ そりゃ共テ対策にも様々な解法があった方がいいのはわかるんですけど 下で解けない問題にまだ会ったことがなくて 上でしか解けない問題とか上の方... Read More

基本 例題 35 ani=pan+(nの1次式) 型の漸化式 63 00000 a=1, an+1=3a+4nによって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 基本 34 指針 p.60 基本例題 34の漸化式 α+1=pan+g で,g が定数ではなく, nの1次式となって いる。このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。 ← 漸化式のn をn+1 とおき, α+2 についての関係式を作る。 これともとの漸化式 との差をとり、階差数列{an+1-a} についての漸化式を処理する。 また,検討のように、等比数列の形に変形する方法もある。 CHART 漸化式 an+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用 1 章 4漸化式と数列 解答 an+1=3an+4n ...... ① とすると ② ② ①から an+2-an+1=3(an+1-an)+4 bn+1=36+4 an+2=3an+1+4(n+1) an+1-an=bn とおくと これを変形すると bn+1+2=3(b+2) また b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8 よって, 数列{bm+2}は初項8,公比3の等比数列で bn+2=8.3-1 すなわち b=83-1-2 (*) ①のnn+1 を代入す ると②になる。 差を作り, nを消去する。 <{bm}は{a}の階差数列。 <α=3a+4からα-2 <az=3a+4・1=7 n≧2のとき n-l an=a1+2(8.3k-1-2)=1+ k=1 8(3-1-1) 3-1 --2(n-1) ③ <n≧2のとき an=a+bk n-1 k=1 =4.3"-1-2n-1 n=1のとき 4・3°-2・1-1=1 =1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。 したがって an 4-3-1-2n-1 初項は特別扱い (*) を導いた後, an+1-an=8.3-1-2 に ① を代入して a を求めてもよい。 {{an=(an+β)} を等比数列とする解法 例題は an+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで, f(n)=an+β として, 検討 an+1=3an+4n が, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)} A の形に変形できるようにα,β の値を定める。 Aから an+1_{α(n+1)+B}=3{an-(an+B)} ゆえに an+1=3an-2an+α-2B 練習 35 これとα+1=3a+4n の右辺の係数を比較して -2a-4, a-2B=0 よって α=-2,β=-1 ゆえに f(n)=-2n-1 Aより, 数列{an-(-2n-1)}は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから an-(-2n-1)=4.3-1 したがって an=4.3"1-2n-1 a1=-2,an+1=-3a4n+3によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。

青チャート 群数列 線を引いたところがどんな考えなのかわかりませんでした。 解説をお願いしたいです。

練習 第n群がn個の数を含む群数列 29 1|2, 3|3, 4, 54, 5, 6, 7|5, 6, 7, 8, 9|6,... について (1) 第n群の総和を求めよ。ar 'arg 大学 (2) 初めて99が現れるのは,第何群の何番目か。 [類 東京薬大] △×3 (3) 最初の項から1999番目の項は,第何群の何番目か。 また、 その数を求めよ。

(4)の下から4行目のところでなんでmを用いているのですか？2mではダメですか？

66 第1章 数列の極限 **** 例題 24 無限級数の収束・発散 (2) 2,3,4 次の無限級数の収束発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ、た だし、(2)は無限等比級数である。 Szm-1-2- 3344 (4) 一般項をα 初項から第n項までの部分和をS, とする. を自然数とすると, n=2m-1のとき 2 無限級数 67 mm (1) 1+ 3+5+7+ (2) (3-1)+(4-2/3) + (6,/3-10 +•••••• (3)(3) =2 + /m したがって, /m 第1章 3.3 4.4 n+1 n+2 また, n=2m のとき, limS2m-1=2... ① n+1 (4) 2 22 33 " =(3-1)+(√3-1)'+(3-1)'+・・・・ 考え方 (1) 一般項を とするとき, lima0 ならば、無限級数 Σa, は発散する. (2)公の無限等比級数が収束する条件は、(初項)=0 または-1<r<1である。 (3-1)+(4-2/3) + (6/3-10)+・・・ よって、公比は3-1であり、-1<√3-1 <1 であるから収束する。 (3)無数Σa.. b が収束するとき, (ka.+lb.) =kZan+lZb. である(ただし,k, lは定数). (4) lim Sp≠limS (n=2m-1 のときと n=2mのときで極限値が異なる) より。 limS2m=1 ...... ② S2m=S21+a2m=2- m+2 m+1 lim よって、 ①,②より, limS2-1≠lim となり m+2 m+1 n=2m-1とn=2m のときで極限値が異なるから,こ の無限級数は発散する. 2 1+ = lim 2 m 1 1+ m Focus ・α 0 のとき 初項a,公比rの無限等比級数 定できないので a 1-r 和 (Irl<1) ・α = 0 のとき .......+ 発散 (|r|≥1) の値にかかわらず 和は 0 STJER ならば lim S は発散する。 234 解答 (1) 1+ 3'5 5+7 n 分母 奇数の列 この無限級数の第n項 4. は, an 2n-1 1 分子 自然数の列 したがって, lima.=lim n =lim 1 2 --2- (1, 2, 3, 4, .....) *-02- n 分母,分子をnで割る よって、この無限級数は発散する. 4-2/3 (2) 公比を とすると,r= 2=√3-1<1 より lar より 1-∞ m a2 r|<1 であるから,この無限等比級数は収束する. その和は、 r= ai |r| <1 より, 和は, (1, 3, 5, 7, ......) 無限級数Σan, Σb" が収束するとき, n=1 Σ(kan+lb)=kΣan+lZon n=l lim S2 = limS2n=S⇒ limS=S に収束 818 lim S2 キlimS2n⇒ lim S は発散 818 > 無限級数やその部分和を考えるときは, n=1 818 √3-1 √3-1(3-1)(2+√3) =1+√3 勝手に括弧をつけてはいけない,(p.68 Story 参照) 1-(3-1) 2-√3 4-3 &mil (3) と は、 は、 より、ともに収束するから、 (2252) も収束する。 をそれぞれ調べる. +0+0+0= に足 [オイラー 1-1+1-1+ 1 また,それぞれの和は, I Σa. Zb. * 練習 3 128 24 |収束 2 3 ** -=3. =1 1 1 ⇒(an-bn) (1) 2 3 4 5 1_2_3_4 2 of 3 |収束 (3) 3"-4 =3-1=2 2" (4) 2- 3 + 23 32 次の無限級数の収束 発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ. ただし, (2)は無限等比級数である. (2) √5+(5-√5)+(6√5-10)+..... 4 4 n+1 + n+2 32 32 + n (n+1)2 •p.81 16 17

重要例題の(1)と練習問題の(2)って何が違うんですか？どうして（1）は円順列で（2）は数珠順列を使うんですか？ 教えてください、お願いします

TUJAM 362 重要 例題19 塗り分けの問題 (2) 円順列・じゅず順列 00000 立方体の各面に、隣り合った面の色は異なるように,色を塗りたい。 ただし 方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。 (1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。 (2) 異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。 ●基本 17 重要 31 「回転させて一致するものは同じ」と考えるときは,(1)1色で固定 展開図(上面を除く) 特定のものを固定して、他のものの配列を考える (1) 上面に1つの色を固定し, 残り5面の塗り方 を考える。 まず, 下面に塗る色を決めると, 側面 の塗り方は円順列を利用して求められる。 (2)5色の場合, 同じ色の面が2つある。 その色で 上面と下面を塗る。 そして, 側面の塗り方を考 えるが,上面と下面は同色であるから,下の解答 のようにじゅず順列 を利用することになる。 下面 異なる色 側面は (2) 同色で固定 (1 CHART 回転体の面の塗り分け つの面を固定し円順列 かじゅず順列 (1) ある面を1つの色で塗り,それを上面に固定検討 解答 する。 このとき,下面の色は残りの色で塗るから 5通り そのおのおのについて, 側面の塗り方は、異なる 4個の円順列で よって (4-1)!=3!=6(通り) 5×6=30 (通り) (1) 次の2つの塗り方は、 例えば、 左の塗り方の上下をひっくり返 すと, 右の塗り方と一致する。 このような一致を防ぐため, 上 面に1色を固定している。 6 S 角 (2)2つの面は同じ色を塗ることになり、その色の 選び方は 5通り その色で上面と下面を塗ると,そのおのおのに ついて、側面の塗り方には,上下をひっくり返す と、塗り方が一致する場合が含まれている。 (*) ゆえに、異なる4個のじゅず順列で (4-1)! 3! -=3(通り) 2 2 よって 5×3=15 (通り) 6 (2) (*)に関し、例えば、次の つの塗り方(側面の色の並び方 が、時計回り、反時計回りの いのみで同じもの)は,上下を ひっくり返すと一致する。 5' 5 E == 練習 次のような立体の塗り分け方は何通りあるか。 ただし, 立体を回転させて一致する ③ 19 塗り方は同じとみなす。 ブレス (1) 正五角錐の各面を異なる6色すべてを使って塗る方法 (2)正三角柱の各面を異なる5色すべてを使って塗る方法 p.366 EX16