4n+9と3n+8の最大公約数とn+1と5の最大公約数が等しくなる理由がわかりません。教えて頂きたいです。

例題 71 4n+9と 3n+8の最大公約数が5になるような50 以下の自然数n をすべて求めよ。ただし, 次のことを用いてよい。 等式 a=bq+rを満たす自然数 a, b, q, rについて, aとbの 最大公約数はbとrの最大公約数に等しい。 4n+9=(3n+8)·1+n+1, 3n+8=(n+1)-3+5 よって,4n+9 と 3n+8の最大公約数はn+1と5の最大公約数に等しい。 ゆえに,n+1 は5の倍数である。 また,2<n+1<51 であるから n+1=5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 したがって n=4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49 「答 2つの自然数 A,Bの最大公約数を(A, B) で表すと (4n+9, 3n+8)=(3n+8, n+1)3 (n+1, 5)

写真の青線の部分がわかりません。 ｢○の倍数であるが、△の倍数でない｣の△の数字はどうやって見つければよいのですか？

例題 38 7n+50 と 2n+16 の最大公約数が6になるような 50以下の自然数 nをすべて求めよ。 等式 a=bq+r を満たす整数a, b, q, rについて, aとbの最大公約数はbとrの 最大公約数に等しいことを利用する。 7n+50=(2n+16)·3+(n+2) 2n+16=(n+2)·2+12 よって、7n+50 と 2n+16 の最大公約数は, n+2と 12の最大公約数に等しい。 したがって, 7n+50 と 2n+16の最大公約数が6のとき, n+2は, 6の倍数である が,12 の倍数でない。 また,(3<n+2<52であるから 指針 解答 →自数 1以上 3hg2 s3 「tる SoRで →2 く32 n+2=6, 18, 30, 42 よって n=4, 16, 28, 40 「答

写真の青線の部分がわかりません。 ｢○の倍数であるが、△の倍数でない｣の△の数字はどうやって見つければよいのですか？

例題 38 7n+50 と 2n+16 の最大公約数が6になるような 50以下の自然数 nをすべて求めよ。 等式 a=bq+r を満たす整数a, b, q, rについて, aとbの最大公約数はbとrの 最大公約数に等しいことを利用する。 7n+50=(2n+16)·3+(n+2) 2n+16=(n+2)·2+12 よって、7n+50 と 2n+16 の最大公約数は, n+2と 12の最大公約数に等しい。 したがって, 7n+50 と 2n+16の最大公約数が6のとき, n+2は, 6の倍数である が,12 の倍数でない。 また,(3<n+2<52であるから 指針 解答 →自数 1以上 3hg2 s3 「tる SoRで →2 く32 n+2=6, 18, 30, 42 よって n=4, 16, 28, 40 「答

(2)なのですが、7nと3n+1が互いに素であるとき、n-2と7も互いに素になるのですか。

こなるような50 以下の自然数 が互いに素になるような 100 以 下の自然数は全で 7n と また,nは50 以下の自然数より、 いくつあるか、 ここで,5n+6 と 3n+1の最大公約数は,n-4と n-4と13の最大公約数が13となるのは,n-4 ユークリッドの互除法を文字式について利用する。 3n+1=(2n+5)×1+n-4 2n+5=(n-4)×2+13 = b+r の形の役 を、 が定数のみに なるまで続ける。 13の最大公約数に等しい。 が13の倍数のときである。 1Sn550 したがって、 -3Sn-4<46 50 以下の自然数とい う条件から、n-4の 値の範囲を定める。 よっ この範囲において,13の倍数n-4は、 0, 13, 26, 39 よって,n-4=0, 13, 26, 39 より、 n=4, 17, 30, 43 第 238. (2) 7n=(3n+1)×2+n-2 3n+1=(n-2)×3+7 - 7nと3n+1が知いに素であるとき、n-2とてもなるまで続ける。 互いに素である。 したがって,求める個数は, n-2と7が互いに素 であるような100 以下の自然数nの個数に等しい、 nは 100 以下の自然数より, a=bq+r の形の変 を、rが定数項のみ こ 1a TO7 1Sn<100 10+25 したがって, 233-10 -1Sn-2<98-2)+ ここで この範囲において, n-2が7の倍数となるのは、 7×14 これを①n-2=7×0, 7×1, 7×2, ……, の より, 15個- 100-15=85(個) よって,求める個数は, すなわち

カッコ1の問題で、解答の意味が分かりません。 教えてください

SOOO00 504 基本 例題126 互除法の応用問題 (1) 2つの整数 m, n の最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一。 ることを示せ。 (2) 7n+4 と 8n+5が互いに素になるような 100 以下の目然数nは全部でい。 つあるか。 p.501 基本事項] laとbの最大公約数 指針> 最大公約数が関係した問題では, p.501 基本事項1 (*)で示した, 右の定理を利用して, 数を小さくし ていくと考えやすい。 本間のように,整式が出てくるときは, まず, 2つの 式の関係を a=bq+rの形に表す。 次に,式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい。 a=bq+r 等しい 50 bとrの最大公約数 解答 2数A, Bの最大公約数を (A,B) で表す。 口(1) 3m+4n=(2m+3n)·1+m+n, o 2m+3n=(m+n)·2+n, (差をとって考えてもよい。 3m+4n-(2m+3n)=m+n 2m+3n-(m+n)=m+2n m+2n-(m+n)=n m+n=n·1+m (3m+4n, 2m+3n)=(2m+3n, m+n) = (m+n, n)=(n, m) したがって, m, n の最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最 よって m+n-n=m e 大公約数は一致する。

数学II　剰余の定理の基礎問題（チャート）なのですが、緑色のラインで引いた部分て (x+1)(x+2)と解説にはありますが(x-1)(x-2)ではダメなのでしょうか

88 本例題 53 剰余の定理利用による余りの問題 (1) (近畿大) とき, P(x) をx-3x+2 で割った余りを求めよ。 [類慶応大) とき, P(x) をx+3x+2で割った余りを求めよ。 基本 52)(重要55 P(x) が具体的に与えられていないから, 実際に割り算して余りを求めるわけにはいか。 い。 このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 特に, 余り Rの次数が割る式Bの次数より低い ことが重要なポイント ! 2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+b とおける。 条件から, この a, bの値を決定しようと考える。それには, 割り算の等式 A=BQ+R で, B=0 となる rの値 (これを● とする)を考えて, P(●)の値を利用する。 基本等式 A=DBQ+R [] R の次数に注意 2] B=0を考える CHART 割り算の問題 解答 (1) P(x) をx?_3x+2 すなわち(x-1)(x-2)で割ったとき の商をQ(x), 余りを ax+bとすると, 次の等式が成り立つ。 42次式で割った余りは, 1次式または定数。 7 条件から 9+XD+(x)○(7-) (1)3 (x)d 剰余の定理。また, ⑦の AB=(x-1)(xー2) P(1)=5 ゆえに ① 9=9+D 両辺にx=1 を代入する P(2)=7 ゆえに L=9+D ①, ② を連立して解くと よって, 求める余りは (2) P(x) をx?2土3x+2 すなわち(x+1)(x+2)で割ったとき の商をQ(x), 余りを ax+bとすると, 次の等式が成り立つ。 a=2, b=3 マ 9+D=(1)d 2.x+3 ▲2次式で割った余りは 1次式または定数。 AB=(x+1)(x+2) Aa, bの値を決定するため には, P(-1), P(-2)が必 要。そこで, ①, ② にそれ ぞれx=-1, x=-2を代 入する。 17 また, P(x) を x?-1, x?-4すなわち(x+1)(x--1), (x+2)(x-2) で割ったときの商をそれぞれQ(x), Q:(x) と P(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+4x-3 … ① P(x)=(x+2)(x-2)Q2(x)+3x+5 すると これと⑦から -a+b=-7 ①から ②から P(-2)=-1 ③, ④ を連立して解くと これと③から -2a+b=-1 4 a=-6, b=-13 求める余りは ー6x-13 (1) 整式 P(x) をx+2 で割った余りが3, x-3で割った余りが1のとき 53 をxーxー6で割った余りを求めよ。 (し) 東敗 D

途中式のどこが違うかわからないです。 教えてください🙇‍♀️黄色チャートです。

He)nntiXn-4) = h(ntiXMt2)-6) 2nnt)nt2)- 6n(nt) 続するろつの整数12の倍数 かつ3の値数なので、 hlntl\nt2)は6の特数。 また-6n(nt)も6の倍数なので、nntsn-4)は6の倍数である。 2自然教をれとすると、カ=118+9. N-54t2 (以.4は整敬) 11火t9:5412→118-54-クの 火=-2 4=-3が1つの整数解? 1162)-5(-3) =ーク② の-Q 118-5ーク つ111-2)-5(3)= -7 111火t2)-51税0 1842)- 5(413) 1145は互いに素であるから、 火+2-5k→ メニ5k-2、 43=11k→4=11k-3 n:11X495 火= 5k-2を代入 n-/1(水-2)+9 = 55kー13 → 11842)= 5(4ィ3) (Kは整数)

線を引いたところの意味がわかりません… 説明お願いします😭

1 5n+6と 3n+1の最大公約数が13になるような50以下の自然数 文字式の互除法 (「 の 252 nをすべて求めよ。 いくつあるか、 カが a 5n+6=(3n+1)×1+2n+5 3n+1=(2n+5)×1+n-4 2n+5=(n-4)×2+13 ここで,5n+6 と 3n+1の最大公約数は,n-4と 13の最大公約数に等しい,? n-4と13の最大公約数が13となるのは, n-4 が13の倍数のときである。 また,nは50 以下の自然数より, a=bq+r の形の変形 を,rが定数項のみに なるまで続ける. 0 IS-v50 以下の自然数とい 1SnS50 う条件から, n-4の したがって, -3<n-4<46 この範囲において,13 の倍数n-4は, 0, 13, 26, 39 よって,n-4=0, 13, 26, 39 より, n=4, 17, 30, 43 ( x サ チ-8 値の範囲を定める。 et+01x-ra()

赤の線と黄色の線を引いているところの文字が逆に変わっているのですが、何故だか分かりますでしょうか？ 教えてください🙏

A= BQ+R の形で書け。ただし,(2) は x についての整式とま 次の整式Aを整式Bで割り,商Qと余り Rを求めよ。また、 A= BQ+R の形で書け。ただし、2はxについての B= 2x°-2 (1) A= 2x°+ 4r°-x+3, (2) A= 4"-3ry + " B= 2x+y Action》 整式の割り算は,式を整理して筆算を行え 筆算による割り算の注意点 *割られる式(A),割る式(B)を降べきの順に整理する。 ·余り(R)は割る式(B)より次数が低い。 次数の欠けたところはあけておく。 既知の問題に帰着 数の割り算 25を7で割ると,商3,余り4 → 25 = 7×3+4 整式の割り算 AをBで割ると,商Q,余りR →A= BQ+R x+2 42-2= であることに 2x°-2) 2x°+ 4r x+3 2x -2.x 4x°+ x+3 4x -4 x+7 Q=x+2, 2.°+ 4.°-x+3= (2.r°-2)(r+2) +x+7 よって R=x+7 また KA= BQ+R (2) Aをxについて整理すると A= 4x°-3y°x+y° xについての影 からyを定動 -3xyのxの -3であるとま DAのでの種 あるから、筆 き,2次の項の ye -3y°x+ y° 2x+y) 4r 4.x°+2yx -2yx°-3y°x -2yx°- y°x -2y°x+y° -2y°x-y けておく。 2y Q= 2°ーージ また 4.°-3.rp"+y= (2.r+y)(2r-xy-y")+2y° よって yについての整れ て計算すると解は 練習9(2)参照 R= 2y° り 思考のプロセス

整数の性質の問題です。 エからわからないです。なぜgはrの約数なのですか？？

(数学I·数学A 第4間は次ページに続く。) aともの最大公約数をgbとrの最大公約数をhとする。 b8+と-ba ア=a- bq 太郎さんの証明 すなわち, gはbとrの オ である。 エ であるから,gはrの よって 0 g カ h であり エ である。同様にして, a=bq+rより hはaの 2 h カ g 50 ケ である。0, 2より g=h であるから,aとbの最大公約数と6とrの最大公約数は一致する。 2) に当てはまるものを, 次の0~①のうちから一つずク エ カ 選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。 0 0 < ④ 約数 6 倍数 6 公約数 公倍数 (数学I·数学 A第4間は次ページに続く。!