重要 例題 19 ベクトルの不
次の不等式を証明せよ。AQ/g
(1) -ab≤a b≤ab
(2) a-b≤a+b≤ã+6
oni
(0,0085
p.28 基本事項
指針 (1) 内積の定義 |a|||cose (0) は, このなす角)において,-cos
であることを利用。ベクトルの大きさについて≧0であることにも注意す
る。
(2)まず,lala +6 を示す。左辺, 右辺とも0以上であるから,
A≧0, B≧0 のとき A≦B⇔A'≦B
であることを利用し,+(+6) を示す。(右辺)(左辺) ≧0 を示す過程
では、(1)の結果も利用する。
次に,-|≦1+6の証明については,先に示した不等式 |a +6|≦|a|+|6を
利用する。
解答
(1)[1] =または6=0のとき
a1=0,la|||=0 であるから
-ab-ab-a6-0-
[2] a=0 かつら ≠0のとき
また、
のなす角を0とすると
a+b= |a||b|cos 0
①
0°≧≦180°より, -1 cos≦1であるから
3-abab cos 0≤|a||bm
-absabab
①から
[1], [2] から -la
(2)(||+||)-|a+
とす
tret af+2ab+6-(a+2ab+61)
=2(|a|||-a-6)≥0
ゆえに +5(+16)2
+16201+≧0から
1+1+16 ②
[1] のときは、この
す角 0 が定義できない。
す、
0=180°
8=0°a
bcose
(大きさ)
100.3=17×16/cost
一定
coseは
0=0°のとき最大
0=180° のとき最小。
(1)で示した
aisaを利用。
② において,da +6,6を-6におき換えると
よって
ゆえに
1万61+6+1-698
②③から
lal≦la +6 +16
à-b≤a+b...
(*)
a-b≤ã+b≤ã+63
|-6|=|6|
(*)のを左辺に移項
する。
合
である
次の不等式を証明せよ。
9 (1)
