コである
ゆえに
EX (1) 次の命題の真偽を調べよ。 ただし, a, b は整数とする。
44
(ア) α2+62 が偶数ならば, ab は奇数である。
(イ) 2 +62 が偶数ならば, a+bは偶数である。
(2) xは実数, αは正の定数とする。 2<x<3 が a<x<2aの十分条件となるようなa の値の
範囲を求めよ。
(1) (ア)
(反例: α = 2,6=2)
CHART
命題の真偽
ない
(イ) 真
(証明) 対偶は
1 真をいうなら証明
「a + b が奇数ならば,'+62は奇数である。」
12
センター
これを証明する。 α + b が奇数ならば, 整数を用いて
a+b=2k+1 と表される。
偽をいうなら反例
対偶を利用。
命題pg とその対偶
真偽は一致す
a2+62=(a+b)2-2ab
か
・カ
=(2k+1)2-2ab
る。
Job
=2(2k2+2k-ab)+1
2k2+2k-ab は整数であるから, ' + 62 は奇数である。
よって, 対偶が真であるから, 与えられた命題も真である。
(2)2<x<3をp, a<x<2aをg とすると,かがgの十分条
件となるのは,
(1)
inf a + b が奇数なら
ば, a,bの一方が偶数で
他方は奇数である。 この
ことを利用してα+62
が奇数であることを示し
てもよい。
命題 pq が真
05°
となるときである。
よって, P={x|2<x<3}, Q={xla<x<2a} とすると,
PCQ が成り立てばよいから
は十分条件
a≦2 かつ 3≦2a
ゆえに、 求めるαの値の範囲は
a
20 %
3
BAD
≤a≤2
2
