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演習 231 4 次関数のグラフと2点で接する直線
(顔埼玉)
指針
次の1~3の考え方がある(ただしf(x)の考え方で
解答
よう。
1点(fr)) における接線が、y=f(x)のグラフと点(s,f(s))で投する。
[3] y=f(x) のグラフと直線 y=mx+nがx=s, x1 の点で接するとして、
[2]点((s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
f(x)=mx+n が重解 s, tをもつ。 →(x) (mx+n)=(x-s)(メー
y=x(x-4)のグラフと直線 y=mx+nがx=s, x=t
(sat) の点で接するとすると,次のxの恒等式が成り立つ。
x(x4)-(mx+n)=(x-3)(x-1)2
(左辺) =x4x3-mx-n
(右辺)={(x-s)(x-1)}={x2-(s+t)x+st}2
=x^+(s+t)x2+s212-2(s+t)x-2(s+t)stx+2stx2
=x-2(s+t)x+{(s+t)"+2st}x2-2(s+t)stx+s242
両辺の係数を比較して
-4=-2(s+t)
演習
237
曲線C:y=x
けるとき、定数
針
3次
曲線
そこ
を通
C
y=
に
①, 0 = (s+t)'+2st
-m=-2(s+t)st
①から
③, -n=s'te ...... ④
s+t=2
これと② から
③から m=-8
④から
②.
下の際は、
の考え方による
ある。
st=-2
n=-4
u=1±√3
s, tはu2-2u-2=0の解で,これを解くと
よって, y=x(x-4)のグラフとx=1-√3, x=1+√3 の
点で接する直線があり、その方程式は
y=-8x-4
stを確認する。
別解 y=4x3-12x2 であるから, 点 (t, f (t-4)) における接線の方程式は
ソード(t-4)=(4t-12t2)(x-t) すなわち y=(4t-12f2)x-3t+8t3
(*)
この直線がx=s (s≠t) の点でy=x(x-4)のグラフと接するための条件は、方程
x-4x3=(4f3-1212x381がもと異なる重解sをもつことである。
これを変形して (x-2)+2(1-2)x+31-81)=0
よって, x2+2(t-2)x+3t-8t=0
Aが, tと異なる重解sをもてばよい。
④の判別式をDとすると
D t-2)²-1 (312-8t)=-2(t²-2t-2)
とすると
t-2t-2=0
これを解くと t=1±√√3
このときAの解はs=-(t-2)=1+√3 (複号同順)
43-12t2=4(t2-2t-2) (t-1)-8=-8
t=1±√3はピ-2t-2=0を満たし
よって
s≠t
-3t+8t=-(t2-2t-2) (312-2t+2)-4=-4
ゆえに, (*) から
y=-8x-4
練習
④ 231
曲線 C: y=x-2x-3x2 と異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
す
