二次関数の最大値・最小値

755

赤い彗星

高校全学年

二次関数の最大値と最小値の場合の方法と例題です。

2024.03.09 公開

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ノートテキスト

ページ1:

・2次関数の最大値、最小値の場合分け
2次関数の最大値、最小値の場合分けについては、上に凸か
下に凸やの場合分けもありますが、ここでは、定義域と軸の方程式に
ついて場合分けをします。
①下に凸の最小値(定義城:〇≦x≦△,軸:口)
(1)□≦のとき
(ii) □≦4のとき
(ii) A≤
小
△
x=〇で最小
△
AD
口で最小
X=△で最小
②下に凸の最大値(定義域≦x≦A,軸:口)
(1)<21のとき
○+4
=
のとき
口のとき
2
A
tt
△
Q+4
X4で最大
Q+4
X=〇△で最大
+4
X=◯で最大
注)の場合分けは(1口とすることで
省略可

ページ2:

③下に凸の最大値と最小値をまとめて場合分け
(i) □≦〇のとき
(1)ミロミサのとき
大
△
X=△で最大、○で最小
(1)のとき
2
(1
O+A △
X=△で最大、x=口で最小
(iv) A≦口のとき
+44
2
A
x=0で最大、X=口で最小
X=◯で最大、x=△で最小
⑩グラフが上に凸の場合は、下に凸の場合と逆にして
考えればよいが、一応、次の夏に記しておく
⑩場合分けのすべての不等号に≦(イコール付き)を使用しているが
問題の解答例では「く」と使い分けされています。
しかし、このノードのようにすべて「=」を使っても間違いでは
ありません

ページ3:

≦x≦△軸)
(i)
□≦△のとき
(i) ミロのとき
④上に凸の最大値(定義域
(i)口≦〇のとき
△
X=〇で最大
(大)
△ロ
x=
で最大
X=△で最大
⑤上に凸の最小値(定義域〇EXミ△軸X=口)
(1)+
2
(1)=ひと
△
口のとき
0+A
X=△で最小
注②の()の場合分け同様
(1)ロ
-
0+4
2
2
x=0,△で最小
x=〇で最小
(1)とすることでは省略可
~

ページ4:

⑥上に凸の最大値と最小値
(1)≦〇のとき
〇口DIAのとき
+4
2
OTA △
2
X=◯で最大、x=△で最小
X=口で最大、x=△で最小
0+4
2
□△のとき
(iv)△日のとき
0+0 △
2
x=口で最大、x=0で最小
次のページから、実際に問題を解いてみます。
X=△で最大、x=0で最小
基本的に、放物線の軸の方程式(北口)と
定義域(O≦x≦△)との位置関係で最大値と最小値が
決まります。その位置関係で場合分けをします。

ページ5:

問1-①は正の実数とする。次の関数の最小値を求めよ。
y=x-4x+110=xa)
y=(x-2)+3.
軸:x=2,下に凸
(1) 0≦2≦aie.ai2のとき、
(ii) a=2ie, Da≦2のとき
0
2
a
0
a2
X=2で
Min 3
x=aで
Mina-4a+1

ページ6:

問1-② aは正の定数とする。関数y=-x+2x+1(0≦x≦a)の
最小値を求めよ。
y=-x-1+2
軸x=1,上に凸
(1) 1≦ie.2≦aのとき
(1)≦lie Oca≦2のとき
1
1
小
小
0
x=aで
a
Min-a+2a+1
1
0
a
1
a
2
x=0で
Min I

ページ7:

問2-①
aは定数とする。関数y=x-2ax+a+1(0≦x≦2)
について
(1)最小値を求めよ。
y=(x-a)+1
軸x=a、下に凸
(1) ao のとき
(ii) o≦a≦2のとき
(Ⅲ) 2≦目のとき
ao
(1)D
2
x=0でMina+1
(2)最大値を求めよ。
(1) a≦l のとき
oa / 2
x=2でMaxa-4a+5
0
a
2
D
2
a
x=az Minl
x=2でMina-4a+5
(i) 1≦aのとき
0
/ a 2
x=0でMax a'+1

ページ8:

問2-③ aは定数とする。関数ニーピー4ax-2(0≦x≦1)の
最大値、最小値を求めよ。
y=-x+2a5+20
軸x=-2a, 上に凸
(1)-2a≦Die, azoのとき
(11)0≦-20/ie、一本≦a≦0のとき
-20 D
1
x=0でMax-20
0-20/2
X=-2aで Max 2a²
x=1でMin-20-40-1
x=1でMin-2a-4a-1
(1) 1/2-2a≦lie-/1/2≦a≦ーネのとき(iv)1-2aie-2/zaのとき
0 1/2-2al
X=-2aでMax2a²
x=0でMin-2a²
D
大
1-20
x=1でMax-20-4a-l
x=0でMin-2a²

ページ9:

問3-① 大は定数とする。関数yニーズ+4%(大=x≦大12)について
(1)最大値を求めよ。
y=(x-2)+4
軸x=2,上に凸
(i) 2≦のとき
lli) 大≦2≦大+2 ie,D≦大≦2のとき (1) 大+2=2ie,TOのとき
2 t
大+2
大
2 +2
t
+22
x=大でMax+4t
x=2でMax4
x=x+2でMax-+4
(2)最小値を求めよ。
(1) 2≦t+live.l≦tのとき
(ii) t+1=2ve、大三のとき
t2+1 +2
x=大+2で Min-t+4
t
+12+2
x=大でMin-犬+4x

ページ10:

問3-② aを定数とする。 a-2≦x≦aにおける関数f(x)=x-2x+2の
最大値、最小値を求めよ。
f(x)=(2-15+1
軸x=1,下に凸
(1) 10-2 e 3≤aatz
(ii) a-2≤150-1 ie, 250 ≤3967
10-2
a
Max fia)=-20+2
Min fla-2) = a²- 6a+10
(ii) a-1 ≤ 1 ≤ale, 1 ≤a≤2az
0-2
1 a-1
a
Max fla) = a²-2a+2
Min f(1) = 1
(iv) a≦l のとき
1
0-2
a-1
1
a
0-2
a
Max fla-2)=a-ba+10
Max fla-2)-a-ba+10
Min f(1) = 1
-
Min fla) = a²-za+2