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計算の決まりと逆算(還元算) 【参考】計算や逆算を数学で解く
●交換法則・結合法則・分配法則は「正負の数」で再出 (中学1年)
●逆算は一次方程式そのもの。 両辺に同じ数を加減乗除することで解xを求めることができる(中学1年)
(1) 計算の法則
> 足し算 (加法)、掛け算 (乗法) に関する法則
【法則】 かけ算の記号 (x)は省略
(2)逆算
> わからない数をxとして式を作り、 その式からxに当てはまる数
を求める (一次方程式そのもの)
一次方程式の場合は、 逆算の公式を覚えるというより、
両辺に同じ数を足したり掛けたりすることでxを求める
【公式】
①足し算 (加法) (交換法則より、 x + α = bも同じ)
x=b-a (両辺に-αを加える)
交換法則
a+b=b+a
ab = ba
結合法則
a+x= b
(a + b)+ c = a + (b + c)
②引き算 (減法)
•
分配法則
(ab)c = a(bc)
(a + b)c = ac + bc
x-a=b
=>
⇔
x = b+α (両辺にαを加える)
a-x = b
x=a-b (両辺にx-bを加える)
③掛け算 (乗法) (交換法則より、 xa=bも同じ)
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|2025/8/16
a(b + c) = ab + ac
引き算(減法) は引く数の符号を変えてを足すと考える
a-b=a+(-b)
割り算 (除法) は割る数の逆数を掛けると考える
a
a+b=
b
b
ax = b
(a≠0)
⇒
x=-
両辺を掛ける
a
④割り算 (除法)
-=b
>>
x = ab
(両辺にαを掛ける)
a
a
a
= b
>>
x=
(両辺に掛ける)
x
b
(b≠0)
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計算の決まりと逆算 (還元算)・ 1. 計算の順序
● 計算は、 ① かっこの中 ②かけ算・わり算 ③ たし算・ひき算の順序で左から計算
●計算の3つの法則 (交換法則、 結合法則、 分配法則) を上手に使うと、 計算が楽に早くできる
(1)計算の順序
計算は次の決まりにしたがう
①かっこの中を先に計算
①' 内側のかっこから順番に計算していく
(内側)( )→{}→[](外側)
小かっこ 中かっこ 大かっこ
(2) 計算のくふう
> 交換法則・結合法則を組み合わせると、
たし算だけの式は、どの順序でたしても答えは同じ
かけ算だけの式は、どの順序でかけても答えは同じ
順序を変えたり分解して工夫すると、楽に計算できる
【法則】
(例) 33 - [3x{3 + (33-3)+3}-3] +3= 21
こうかん
交換法則
a+b=b+a
②かけ算・わり算を先に計算
axb = bxa
③たし算・ひき算を左から順に計算
(例) 25+ (1 + 2×2)=25+ (1+4)･･･かっこの中のかけ算を計算
= 25÷5
= 5
・・・かっこの中を計算
・・・わり算の計算
↑ =の位置をそろえる
けつごう
結合法則
ぶんばい
分配法則
(a+b)+=a+ (b+c)
(axb)xc=ax(bxc)
(例)3 + 21 {14- (4+3)}
=3+21+{14-7}
=3+21+7
=3+3
= 6
↑ =の位置をそろえる
① () (小かっこ)の中を計算
{ } (中かっこ)の中を計算
･･②わり算を計算
･･･ ③ たし算を計算
(a+b) x = axe+bx
(a-b)xc=axe-bx
ax (b+c)=axb+axc
ax(b-c)=axb-axc
Point 左辺から右辺だけでなく、 右辺から左辺も成り立つ
(結合法則の例) 10や100を先に作れると楽にかけ算ができる
32×25×4=32×(25×4)=32×100=3200
(分配法則の例) 同じ数字のかけ算が並ぶときに、まとめてからかけ算
314×12 + 314×2=314×(12-2)=314×10=3140
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3025/9/9
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計算の決まりと逆算 (還元算) 2. 逆算 (還元算)
-
●逆算とは、 わからない数を口として式を作り、 口に当てはまる数を求めること。 口の代わりにxなども使われる
● □を求めるときは、 普通の計算と逆の順序で計算。ひき算・わり算は間違いやすいので注意!
(1) 逆算の解き方
逆算とは わからない数を口 (やx) として式を作り、
【公式】
その式から口に当てはまる数を求めること。 還元算とも言う
③かけ算
【公式】
①たし算
□+ b = c→□=e-b
(例) x+2=5
x=5-2=3
a +□= c⇒
=c-a
a
(例) 3+x=5
x=5-3=2
②ひき算
□ - b = c⇒□=b+c
(例) x-2=5
x = 5+2=7
@-->>-a-c
□=c⇒
(例)5-x=3
x=5-3=2
b
a
b
□xb = ⇒□=e+b
(例)xx3=15
x=15+3=5
ax
= c⇒□= c÷a
a
(例) 3xx = 15
④わり算
x=15÷3=5
|+b=c⇒□=cxb
(例)x÷3=5
x = 5x3 = 15
a+□=c⇒□=a+c
(例) 15x=3
x = 15+3=5
b
b
b
a
2