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1.1. 植木算
● 植木算とは 「木の数」と「木と木の間の数」の関係を考えて解く問題
●間の長さ×間の数=全体の長さ。 木の数で考えるのではなく、つねに間の数を考えることが大切
(1) 植木算
(2) 楠木のバターン
2025/8/2改定
問題文から状況を絵に書いて、 パターン1~3のどれかを
考える
植木算 「木の数」 と 「間の数」の関係を考えて解く問題
解き方・考え方
1 「木の数」と「間の数」の関係を確認する
(例) まっすぐな道に、はしからはしまで3mおきに電柱を5本
立てます。 道の長さは?
(両はしにも植える)
まっすぐな道に木を植える場合
パターン1
木の数=間の数+1
☑ ☑ ☑
間の数=木の数-1
まっすぐな道に木を植える場合
は
パターン2
表
(両はしには植えない
木の数=間の数 -1 ×こ
☑
の
この
=
間の数 木の数+1
橡
|パターン3
一周するときに
木を植える場合
(解)
① 「木の数」と「間の数」の関係を確認する
この
☑
11 12 13
像 像間の
区
この画像は表示この
画像は表示で
絵をかくとパターン1と
分かる。
1
2
3
5
間の数は 5-1=4。
3m
②求めたい数量を計算する
【公式】 間の長さ×間の数全体の長さ
3[m]×4=12[m]
(例) 桜の木が10m間かくに10本植えてある道があります。
(解)
桜の木と木の間にくいを2m間かくに植えると、
くいは合計何本植えますか?
① 「木の数」と「間の数」の関係を確認する
桜と桜の木の間の関係は
10m
木の数=間の数
池、 長方形のまわり、..
ま
せ
で
②にしたがって調整しながら、 求めたい数量を計算する
【公式】
間の長さ×間の数=全体の長さ
ん
パターン2 と分かる
② 求めたい数量を
計算する
2m 2m
ん
桜と桜の木の間のくいの数は、間の数より1つ少ないので、
10 2-1 = 4[本]
道全体では、桜と桜の間の数は10-19あるので、
くいは全部で、 4 [本]×9=36 [本]
2

ページ4:

1.2. 植木算の応用
かべに絵をならべる問題の場合、 たてと横に双方に等間隔な植木算として考える
● テープののりしろの問題も、テープを木、のりしろを間と考えると、 植木算のように解ける
(1) かべに絵をならべる問題
かべにたて横に等間隔になるように絵をならべる問題では、
たて・横どちらかに注目して解く
(例)たて2m80cm、 横6mのかべに、 たて20cm 横30cmの
写真を横一列で8枚はります。
①かべのはしから写真までの間かくと、写真と写真の間かくをすべ
て同じ長さにすると、 その長さは何cmですか?
① 「絵の数」と「間隔の数」 の関係を確認する
(解)
図をかくと、この場合、 絵より
12
8
(2)
間かくの方が1つ多いことがわかる。
6m=600cm
②1にしたがって調整しながら、 求めたい数量を計算する
間の長さ×間の数全体の長さ
【公式】
全体の長さ間かくの数
(2) テープののりしろ問題
2025/8/2改定
テープののりしろや、テープを切る問題など、 植木算の応用範
囲は幅広く、計算 (特にわり算) をする前に、 何を計算して
いるのか、 図で整理することをおすすめ
(例) 長さ10cmのテープを、 2cmの「のりしろ」を作ってくっつけて、
1本の長いテープにします。
10枚つなげたとき、
全体の長さは何cmですか?
-10cm
のり
しろ
のり
しろ
2cm
(解)のりしろの数は10-1= 9個
そのため、 全体の長さは、のりしろの長さを引けばよいので、
10[cm] x10 [枚]-2[cm] x9 [個] = 100-18=82 [cm]
のりしろの長さが2cmにして何枚つなげたところ、 全体の長さが
98cmになりました。 テープは何枚繋ぎましたか?
(解)のりしろの数の方が、 テープの枚数より1枚少ないので、
テープの枚数に合わせると、全体の長さは、
98-2=96[cm]
間かくの合計は、600-30×8=360[cm] なので、
間かくの長さは360÷ (8+ 1) = 40[cm]
②たてにも、かべのはしから写真までの間かくと、写真と写真の間
かくを、①の間かくではり直すことにしました。 全部で何枚の絵を
はることができますか?
テープ10
10
10
10
のりしろ部分もふくめる
と、テープ1枚あたり
cm
cm
cm
cm
② 2
② 2
①
cm
cm
cm
cm
(解)たても、間かくの方が1つ多いので、 全体から先に
引いておくと、 28040=240[cm]
240
cm
10-2=8[cm]
のため、テープの枚数は、
残った
8
8
8
10
8
長さ
絵はたてに、 240+ (40+20)=4 [枚]ならぶ。
96÷8=12[枚]
したがって、絵は全部で、
? 20cm
4×8=32[枚]
40cm
98cm 96cm
のりしろの数を
テープの枚数に
合わせる
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3

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1.3. 記号の周期算
●周期算とは、 数字や文字・記号などがくり返されてるときに、 ○番目を求める問題
● 記号の周期算では、 周期を正確に見つけて、 数えもれがないように注意して求める
(1) 記号の周期算
周期算 数字や文字・記号などがくり返されてるときに
○番目を求める問題
(例) あるきまりにしたがって、 ○と●がならんでいます。
○○●○●○○●○●○○●○●○○...
37個目の記号はなんですか?
解き方・考え方
① くり返し (同期) を見つける
5個ずつ区切ると、 同じかたまりのくり返しになる。
(2) 記号の同期算の応用
①最初だけ違って、途中から同じくり返しになる問題
(例) あるきまりにしたがって、 ○とがならんでいます。
○○×○○×● ○○×○○×
37個目の記号はなんですか?
(答)
くり返し (周期)を見つける
3番目の数から4つずつ区切ると、 同じかたまりになる
|○○× |○○× 一〇〇×
|○○x...
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○番目を求める
場合は、1番目
はあまり1
② くり返しの個数でわったあまりから、特定する
(37-2)+4=8あまり3
となるので、〇〇× の前から3番目で、 37番目は×
あまり1230
②登場した回数を求める問題
(例) ③のルールにしたがって、 ○と●がならんでいます。
99個目までに○は何回出てきますか?
(答) 99個目までにくり返しは、
(99-2)÷4=24あまり1
より、 24回出てきて、 最後 (25回目)は○となる。
○は最初に1個、○○× に2個ずつ24回出てくるので、
1 + 2×24 + 1 = 50[個]
② ○番目の数字・文字・記号を求めたい場合、
くり返しの個数でわったあまりから、 特定する
375=7あまり2
となるので、
この前から2番目で、 37番目は○
「あまり0の場合
・あまりの場合
あまり3の場合
あまり2の場合
・あまり1の場合
ポイント
最初の○○を見て、ずっと○のくり返しと考えないで、
必ず、 同じかたまりが、 次も続くことを確認!!
問題文の例が長いときは、 周期も長いことが多いです
Ox
○○×
○○x..
24回
4

ページ6:

1.4. 数字の周期算 (1)
数字がくり返される場合も、 記号の場合と同じようにくり返し (周期)を見つけて解く
● 一見、 周期算でなさそうな問題でも、 自分で調べて周期を見つけることで解ける問題もある
(1) 数字の周期算
(2)周期算に見えない周期算の問題
数字がくり返される場合も、 記号の場合と同じように求める
(例)4の倍数の一の位の数字を小さい方から順番にならべた
とき、 45番目の数の一の位の数字はなんですか?
(答) くり返し(周期)を見つける
4×1 = 4
一の位の数字は4
4×2 = 8 →
4×3 = 12 →
一の位の数字は8
一の位の数字は2
最初の方の
数をいくつか
4×4 = 16 → 一の位の数字は6
ためしてみる
4×5 = 20 → 一の位の数字は0
一見、 周期算でなさそうな問題でも、かんたんな場合をいくつ
か自分で調べて、 周期を見つけることで解ける問題もある
(例)3を2023個かけ合わせてできる数の一の位は?
[品川女子学院2023]
(答)
① くり返し (周期)を見つける
1個:3
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2個: 3×3=9
なので、一の位の数字は 0
4×6 = 24 → 一の位の数字は4
となり、 {4, 8, 2,6,0)のくり返しになる。
くり返しの個数でわったあまりから、特定する
45番目は、4559あまり0
{4,8,2,6,0}
あまり0の場合、
くり返しの中の最後の数
3個: 9×3=27
→一の位の数字は3
→一の位の数字は9
→一の位の数字は7
4個: 27×3 = 81
→一の位の数字は1
5個: 81×3=243
→一の位の数字は3
6個: 243×3=729
→一の位の数字は9
となり、 {3,9,7,1}のくり返しになる。
数字の列の和を求める問題は、かたまりの合計を求めてから、
かたまりの個数 (繰り返し) 分たす
②くり返しの個数でわったあまりから、
特定する
かけ算は、全部
計算しなくても、
一の位の数字を
3倍すれば分かる
○○3
(例) 次の数字の100番目までの合計は?
1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, ...
(答) (1,2,3,2,1,0)の6個の数字のくり返しで、
1つのかたまりは、 1 +2 +3 +2+1+0= 9。
100番目は100÷6=16あまり4なので、
100番目までの合計は、くり返し16回と
かたまりの1~4番目の数の合計なので、
9×16 + (1 + 2 +3 + 2) = 152
2023番目は、
2023÷4=505あまり3
なので、一の位の数字は7
{3,9,7,1)
くり返しの中の3番目
×
3
OO9
LO
5

ページ7:

1.5. 図形の周期算
● 図形の周期の問題は、 どんなかたまりでくり返されているか、正確に調べることが必要
(1) 図形の周期算
ぼう
(2) 複雑な図形の周期算
同じ長さの棒をならべる問題は、くり返しのかたまりに注意
(例) 正方形を横にふやしていく
最初か最後にあまる場合も多い
(例) 正三角形
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① くり返し (周期)を見つける
1515
1つの正三角形を作るのに
2本ずつ使う
ポイント
正方形
の個数 1個
2個
最後に
3個
1本あまる
32本のマッチ棒がある時に作れる正方形の数は?
正方形を1個作るのに、 3本ずつ使うので、
(32-1)+3= 10...1
より、10個作れる 1本あまる分を予約
最後に
1本あまる
(例)
たて
正方形を横にも縦にもふやしていく
真ん中の棒は、左と右の
正三角形のどちらも使う
から、右にくっつける
2段目以降は
各段1本ずつ
2本ずつで足りる
あまる
1個
2個
_4+1=5個
正方形
の個数
②個数は1回のくり返しで使う本数でわって求める
一辺棒1本分の
|小さい正方形
一辺棒2本分の
大きい正方形
棒を41本ならべてできる正三角形の個数は、
(41-1)+2=20[個]
棒の
3×1+1=
3×2+1=
本数
4本
7本
3×2 + 2x2 + 1+1=
12本
最後に 正三角形1個作る
あまる1本のに必要な本数
なるべく、横にもにも棒の本数を増やしていくと、
少ない棒の本数で多くの正方形が作れる
9

ページ8:

1.6. 日暦算 (基本)
2025/8/10改定
●日付(日にち)は○月○日であらわし、日数は○日間であらわす。 日数=最後の日付 最初の日付+1
● 曜日は日曜日から土曜日までの7つ周期 (日、月、火、水、木、金、土)
(2) 曜日
(1) 日にちと日数
日付 (日にち)あることをおこなう日。 ○年○月○日
日数 日にちの数。 □日間
曜日: {日, 月,火, 水, 木,金,土} の7つの周期
▼ 未来の日付の曜日を求める場合
(出典: 小学館 例解学習国語辞典 第十二版より)
(例) ある年の3月4日が土曜日のとき、 3月27日は何曜日?
3/4
(答)
3/5
+ +
3/6
3/27
日付・日にち
日付日にち
土 日 月
?
(○月○日)
( ○月○日)
1
2
3
求める日付が基準となる日付の何日後かを求める
3/27は3/4から数えて、 27-4 + 1 = 24[日後]
日数 (二日間)
(例) 3月4日から4月11日まで何日間ありますか?
4/11
②曜日の周期である7でわって、 あまりの分だけ進める
247=3あまり3 より 3月4日 (土曜日) から数えて、
{土,日, 月}の3番目になるため、 3月27日は月曜日
過去の日付の曜日を求める場合
(例) ある年の11月11日が土曜日のとき、 10月2日は何曜日?
(答) 3/4
3/31 4/1
31-4+1
11- 1+1
=
= 28 [日間]
= 11[日間]
(答)
10/2
3月は28日間、 4月は11日間あるので、
28 + 11 = 39 [ 日間]
3/4から数えて
39日目
?
10/31 11/1
?日前
11/11
土
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ポイント
日数(日間) や口日目を出すときは、
差に+1する!
最後の日付 最初の日付 + 1
日後を出すときには+1しない!
(最初の日付 0日後)
求める日付が基準となる日付の何日前かを求める
(11- 1) + (31-2 + 1) = 41[日前]
②曜日の周期である7でわって、 あまりの分だけ戻す
4175あまり6 なので、 10/2は11/11から、
(11/11を含めて)6つ前の曜日で
{土, 金, 木, 水, 火, 月} より、 月曜日
15
7

ページ9:

1.7. 日暦算 (月またぎ 年またぎ)
● 月をまたぐ場合は、 各月の日数分たして、 求めたい日までの日数を出す
● 年をまたぐ場合、 同じ日付の1年後の曜日は平年の場合1つ進むことを利用する
(1) 月またぎの日算
> 月をまたぐ場合、 各月の日数(最後の日)をたす
(2) 年またぎの日歴
2025/8/10改定
1年後の曜日は平年で1つ (うるう年で2つ) 進む
(理由) 1年は365日 (平年の場合) なので、 1年後の同じ日は、
(365+1)+7=52あまり2
1月
2月
3月
4月
5月
6月
31
28か29
31
30
31
30
7月
8月
9月
10月
11月
12月
31
31
30
31
30
31
※ 2月はうるう年のみ、 最終日は29日
(答)
(例) ある年の3月4日が土曜日のとき、 7月27日は何曜日?
より、前年の同じ日の次の曜日になる
(例) 2000年3月4日が土曜日のとき、 2006年11月11日は
何曜日?
| 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
/3/4 /3/4 /3/4 /3/4 /3/4 /3/4 /3/4
(答) 1求める日付が基準となる日付の何日後かを求める
3月
4月
5月
6月
7月
31-4+1=28
30
31
30
27
3/4
7/27
(土)
4/1
5/1
6/1
7/1(?)
28日間 30日間 31日間 30日間 27 日間
7/27は、 3/4から数えて
28 + 30 + 31 + 30 + 27 = 146日目
になる。
②曜日の周期である7でわって、 あまりの分だけ進める
1467=20あまり6 より、
3月4日の土曜日から数えて6つ目なので、
{土,日, 月,火, 水,木}で木曜日
土 日 月 火 木金土
+1
+1 +1
+2
2004年は
+1
+1
うるう年なので
|2曜日分進む
2000年はうるう年だが、
2/29以降なので
1年後までの日数は365日
となるので、2006年3月4日は土曜日。 11月11日は、
3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月
28 30 31 30 31 31 30 31 11
28 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 11 = 253
2537=36あまり1 より、 土曜日
> うるう年(閏年) は4の倍数の年。 例外として、
× 100の倍数の年はうるう年ではない
○ 400の倍数の年はうるう年
(例) 1900年
( 例) 2000年
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中学受験新演習 小5算数 上
第2回
きまりの利用(2) 一等差数列
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2.1. 等差数列
● 等差数列とは、 次の数が前の数にある一定の数をたしたり、ひいたりして作られる数列
● 等差数列の和は、 (はじめの数+ 終わりの数)×個数 +2
(1)等差数列
すうれつ
数列: ある決まりにしたがって順に数をならべたもの
(2) 等差数列の和
【公式】 等差数列の和
(例) 2,5,8,11,14をすべて加えると、 いくつになりますか?
(解) 公式を使用すると、 (2 +14)×5 + 2 = 40
【公式が成り立つ理由】
とうさ
> 等差数列: 次の整数が前の整数に同じの整数をたしたり、
ひいたりして作られる数列
等差数列の和(はじめの数+ 終わりの数)×個数 2
÷
(例) 2,5,8, 11, 14, ･･･
+3 +3 +3 +3
こうさ
公差: 一定の数 (たしたりひいたりする整数) のこと
【公式】 等差数列のn 番目の求め方
番目の数はじめの数+公差(n-1)
もとのたし算と逆に数字をならべて、上下 (たてに) たしてみる
(初)
間の数
2 + 5 + 8 + 11 + 14
14
11
(例) 上例の等差数列で10番目の数は、2 + 3×(10 - 1) = 29
+)
14 + 11 + 8 + 5 + 2
8
−5個
5
16 + 1 + 16 + 16 + 16
14
元の数列 258 119 12-13×10 -1 = 29
「逆に数字を
16
5個 (個数)
ならべる
(別解) 公差である、3の倍数と比較すると、 1すると元の数列
1番目
3の倍数: 3, 6, 9, 12, 15,
(例) 上例の等差数列で、 100以下の中で最も大きい整数は?
(解) 2
8
3
3
間の数
100
最初が1番目なので、
間の数より1大きくなる
(100-2)+3=32あまり2より、 33番目の整数で、
2 +32x3 = 98
(別解)3で割ると2あまる整数の数列になっているので、
100÷3=33あまり1
の2個前の整数があまり2となる。
したがって、 100-2=98
整数 100 99 98
あまり 1 0 2
-1 -1
②同じ式をたし合わせているので、個数分たし合わせて2でわる
16×5 + 2 = 40
上: はじめの数 (初項)
下: 終わりの数
高さ: 個数
の台形のイメージ
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2.2. 四角数
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...
奇数をならべた数列{1,3,5,7,9, } の番目までの奇数の和は四角数 (平方数、 nxn)
● 表形式に整数がならんだ問題の中で、 四角数に着目すると解きやすくなる問題がある
(1) 奇数をならべた数列
【公式】奇数をならべた数列 (1,3,5,7,9,...について、
n番目の奇数 =2xn-1
(2) 四角数の応用
(例)
あるきまりにしたがって、右の表の
ように整数をならべます。
1列 2列 3列 4列5列
1行1 2| 5 10
番目までの奇数の和
四角数 番目までの奇数の和
和: 1×1.2×2.3×3.4×4
1 23 4
2行 4
3 6
11
①6行目の6列目の数字は?
3行 9 8 7
|4行
(解)
1列目の整数は四角数になっている
1行目 : 1×1 = 1、 2行目 : 2×2=4、3行目: 3×3 = 9
2
(3) 4
したがって、6行目の1列目の整数は 6×6 = 36
3 3 3
4
6列目は、36(を含んで) 6個手前なので、31
1列 2列 3列 4列5列 6列
4 4 4
4
36 35 34 33 32 31
平方数 ある整数を2回かけた数 (四角数と同じ)
②80は何行目の何列目にありますか?
(例) 覚えておくと便利な平方数
(解) 80の近くの平方数を探すと、
9x9-1=80
11×11=121
14×14=196
17×17 = 289
12×12 = 144
15×15 = 225
18×18=324
13×13 = 169
16×16= 256
19×19= 361
8x8 + 16 = 80
となるので、 96は9行目か9
列目にある。
あとは書いてみると、
1列 2列 3列
1行 1 2 5
9列
... 65
2行4 3 6 ... 66
|9行 81 80 79
・・・
80は9行目の2列目
11

ページ13:

2.3. 倍数と等差数列
●pでわるとrあまる整数の数列は、 はじめの数がァで、 かずつ増える等差数列
● 条件が2つある場合には書き出すことで最初の数を見つけ、以降はわる数の最小公倍数ずつ増えていく
(1)倍数に関する問題
pでわるとあまる整数の数列
はじめの数(初項)で、ずつ増える等差数列
(例)6でわると2あまり、8でわると4あまる整数を小さい順に
ならべます。300に最も近い整数は何ですか?
(解)
●最初の整数 (初項) を求める
(2) 複雑な問題
(例) ある規則で並んだ100個の分数があり、 約分できる分数は全て
約分すると次のようになりました。
113 537 9
2'2'8
,2,
4'4'2
8
•,50
約分したあとの100個の数のうち、 整数は何個ありますか?
(渋谷教育学園渋谷中学 / 2026年)
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「とにかく書き出す」のが手っ取り早い
でわると 28 14 20 26 32 38 44
2あまる
50
4 12 20 28 36
44 52
8
ると
4あまる
最初の整数 (初項) は20とわかる
(解) 分子は、 1,2,3,4,5,6,･･･ と連続する整数、
分母は、2,4,8 の3個の整数のくり返しになっている。
約分して整数になる分子は分母の倍数になっている
ことに着目すると、 分子を3個区切りで見たとき、
(i) 分子が3で割ると1あまるとき、 分母は2。 分子は初項4、
公差は、2と3の最小公倍数である6の等差数列となるので、
分子が100までで約分すると整数になる個数は、
(100-4)+6=16より、 初項も含めると17個
(ii) 分子が3で割ると2あまるとき、分母は4。 分子は初項8、
公差は、4と3の最小公倍数である12の等差数列となるので、
分子が100までで約分すると整数になる個数は、
(100-8)+127あまり8より、 初項も含めると8個
(iii) 分子が3で割りきれるとき、 分母は8。 分子や初項24、
公差は、8と3の最小公倍数である24の等差数列となるので、
分子が100までで約分すると整数になる個数は、
(100−24) +243あまり4より、 初項も含めると4個
したがって、全部で 17 +8 + 4 = 29 [個]
②増える整数 (公差) は、 わる整数の最小公倍数
公差は、 6と8の最小公倍数となる24
③目標となる前後の整数を調べて、近い方が答え
初項以降、 (300-20)24=11あまり16なので、
この数列の12番目 : 20 + 24×11= 284 初項を除くと11番目
あるいは、300-16=284 でも良い
この数列の13番目 : 284 + 24 = 308
となるので、 300により近い整数は、308
前の数の次の数は、
公差をたす
12

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2.4. 等差数列の応用
●だんだん数が減っていく等差数列の場合、 n番目の数=はじめの数公差x(n-1)
● 群数列は、 数列をある一定の規則にもとづいてグループに区切った数列
(1) 減っていく等差数列
だんだん減っていく等差数列の場合、
番目の数はじめの数公差x(n-1)
(初項)
間の数
(例)あるきまりにしたがって、下のように左から順に分数をならべたとき、
はじめて1より大きくなるのは何番目の数ですか?
1 3 5 7 9
100'97'94'91'88'
(解)はじめて1より大きくなるのは、分子〉分母となるとき
分子は、初項1で2ずつ増える等差数列
分母は、初項100で3ずつ減る等差数列
なので、数列が1つずつ進むごとに2+3=5ずつ差がつまる
+2 +2 +2
分子
13 5
分母
+2
94 97 100
-3
-3
100-1=99
最初、 100-1=99の差があるので、 99÷5=19あまり4より、
20番目 (初項を除いて19番目)の次の21番目で分子> 分母となる
分子: 1 + 2×(21-1) = 41
したがって答えは
分母:100-3×(21-1)=40
41
40
旅人算の考え方を
応用
(2) 群数列
群数列 数列をある一定の規則にもとづいて
グループに区切った数列
群数列を解く場合には、試しに色々計算してみて、
ルールを見つけることが大切
(例) |1|2,3,45,6,7,8,9|10,
【ルール】群の中の数の個数は、 1個, 3個, 5個, ···
となり、 奇数の等差数列
|1|2,3,45,6,7,8,9|10,
1個
3個
5個
...
..
(例) 上記の群数列で、 10番目の群の中の数の個数は?
(解)1+2×(10-1)=19個
【ルール2】群の最後の数は、 1,4,9, ・ となり、平方数
...
|1|2, 3, 4 | 5, 6, 7, 8, 9 | 10, ...
=1x1 = 2x2
= 3x3
(例) 20番目の群の最後の数は?
(解) 20×20=400
(例)200は、何群の何番目ですか?
(解)14×14= 196、 15×15= 225なので、
15群の4番目
196 | 197,198,199,200
13
13

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中学受験新演習 小5算数 上
第3回
倍数と約数
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3.1. 倍数
● 倍数とは、ある数を整数倍してできる数のこと ( 0倍は含めない)
●公倍数とは、 2つ以上の共通の倍数のことで、 それら公倍数の中で最も小さい数を最小公倍数という
(1)倍数
> 倍数 : ある数を整数倍 (1倍、2倍、 3倍、 ･･･ して
できる数のこと
(例) 4の倍数: 4×1 = 4、 4×2 = 8、4×3 = 12、・・・
ただし、0の倍数や、 ある整数の0倍は考えない
(例) 1から200までの整数の中に6の倍数は何個ありますか?
(解) (2006)633あまり2なので33個
(別解) 最初の6の倍数は6、 その後、6個おきに出てくるため、
(200-6)+6=32あまり2なので、 32+1=33個
(3) 公倍数・最小公倍数
> 公倍数:2つ以上の数の共通の倍数のこと
> 最小公倍数: 公倍数の中で最も小さな整数 (L.C.M.)
(例)4と6の公倍数は、 12、24、36、･･･ (12の倍数)
4の倍数:4、8、12、16、20、24、28、32、･･･
18、
6の倍数:6、12、
24、 30、...
最小公倍数は連除法で求めることができる
3つ以上の数の最小公倍数を求める場合、
割り切れないときにはそのまま下におろす
(2) 特別な倍数の特徴
(例)
2) 16 24
30
最小公倍数のときは、
特別な場合
確認方法
2)
8
12
15
割り切れないときは
そのまま下におろす
2の倍数
下1けたが偶数{0,2,4,6,8}のいずれか
2)
4
6
15
(偶数)
(例) 168、500、1234567890
3)
2
3
15
最大公約数のときは、
ダメ!!
3の倍数
各位の数の和が3の倍数
1
5
4の倍数
5の倍数
(例) 168･･･ 1+6+8=15→3の倍数
下2けたが4の倍数か00 (例) 168,300
下1けたが{0,5}のいずれか
6の倍数
9の倍数
2の倍数かつ3の倍数の数字 (例) 168
各位の数の和が9の倍数
(例) 198･･･1+9+8=189の倍数
16, 24, 30の最小公倍数は、2×2×2×3×2×1×5=240_
互いが素である数α, bの最小公倍数はaxb
2つの数が、 1以外の
公約数を持たないこと
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3.2. 最小公倍数の応用
●○の倍数の個数を求める問題は周期算のように考える。 ○でわった商が個数
歯車のように周期的に2種類以上のものを動かす問題では、 それぞれの間隔の公倍数を求めると良い
(1) 倍数の個数を求める問題
○の倍数の個数を求める問題は、 周期算のように考える
(例)
100から200までの整数の中に13の倍数は何個ありますか?
(解)
(2)最小公倍数を使った応用問題
歯車のように周期的に2種類以上のものを動かす問題で
は、それぞれの間隔の公倍数を求めると良い
2両の電車の出発時刻
例
長方形の紙をならべて正方形を作る
直方体の箱を積み上げて立方体を作る
1から200までの整数の中に13の倍数は、2001315あまり5
(例)
13個おきに13の倍数が出てくる
1から99までの整数の中には、 99137あまり8 なので、
100の1つ手前
15- 87[個]
Point
1からではなく途中からの個数を求める場合、○の倍数が周期の途中
で出てくるので、対応が難しい。
1から1つ手前の整数 (上例だと99) までの個数をひく方が求めやすい |
(例)
1から100までの整数の中に8でも13でも割り切れない数は
何個ありますか?
(解)
ベン図を書くと、 工 の部分になる
4の倍数(アイ): 100÷4=25
ある花火大会ではA、B2種類の花火を一定間かくで打ち上げます。
午後7時から開始しA・B同時に打ち上げ、 その後はAは8秒ごと、Bは
12秒ごと打ち上げられ、 午後7時20分に花火大会は終了しました。
打ち上げの音は何回聞こえましたか?
(解)
0秒
8秒
16秒
24秒
32秒
A:
B:
0秒
12秒
24秒
36秒
8と12の最小公倍数である24秒ごと同時に打ち上げられる
A・B同時に打ち上げられるのが、 最初もふくめて、
20×60 + 24 + 1 = 51[回]
なので、音が聞こえる回数は合計で、
150 + 100 - 51 = 199[回]
Aは全部で20×60÷8=150[回]、
Bは全部で20×60 12 = 100 [回] 打ち上げられ、
1~100の整数
ア + + +T
4の倍数。 7の倍数。
ア
28の倍数 ( ): 100+28 3... 16
したがって、
ACTOR
7の倍数(イ+ウ): 1007=139
また、4と7の最小公倍数は28なので、
=
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T=100-25-13+3= 65[個]
公倍数
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3.3. 商と余り
●pでわるとrあまる整数の数列は、 はじめの数がで、ずつ増える等差数列
●条件が2つある場合には書き出すことで最初の数を見つけ、以降はわる数の最小公倍数ずつ増えていく
(1) 同じあまりの数列
pでわるとあまる整数の数列
はじめの数 (初項)がで、ずつ増える等差数列
条件が2つ以上ある場合、 パターンは3通り
パターン①でわってもんでわってもあまる整数
aとbの最小公倍数より大きい整数
(例) 4でわっても6でわっても3あまり2けたの整数のうち
最も小さい数は?
(解) 両方でわってもあまりが3なので、 一番小さい数は3。
4と6の最小公倍数は12なので、 3 + 12 = 15
(例) 6でわると2あまり、8でわると4あまる整数を小さい順に
ならべます。 300に最も近い整数は何ですか?
(解)
①最初の整数(初項)を求める
この場合は、左のパターン②なので、
最初の整数 (初項) は6と8の最小公倍数24より、 わる数と
あまりの差である4を引いて、 244=20
2
6でわると 8 14 20 26 32 38 44
50
2 あまる
パターン② あまりは異なるが、 わる数とあまりの差が同じ
aとbの最小公倍数よりrだけ小さい整数
4 12 20 28 36 44
52
8ると
4あまる
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(例) 4でわると3あまり、6でわると5あまる整数のうち
最も小さい数は?
(解) わる数とあまりの差がどちらも1なので、一番小さい数は
4と6の最小公倍数は12より、 12-1=11
パターン③ 上記以外
条件に当てはまる数を調べて探して、
残りは、最小公倍数の間かくで、 増減させる
(例) 6でわると2あまる4の倍数のうち2番目に小さい数は?
②増える整数 (公差) は、わる整数の最小公倍数
公差は、6と8の最小公倍数となる24
③目標となる前後の整数を調べて、近い方が答え
初項以降、 (300-20)+24=11あまり16なので、
この数列の12番目 : 20 + 24×11=284
この数列の13番目 : 284 + 24 = 308
初項を除くと11番目
前の数の次の数は、
(解) 6でわると 2
8
14
20
26
となるので、 300により近い整数は、308
2 あまる
4
8
12 16 20 24
4の倍数
O
一番小さな数で当てはまるものを書き出して探すと8。
4と6の最小公倍数は12なので、2番目は、 8 + 12=20
公差をたす
17

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3.4. 約数
●約数とは、 ある整数をわり切ることができる整数のこと。 1と口自身は必ず口の約数になる
●公約数とは、 2つ以上の整数の共通な約数のことで、 公約数の中で最も大きな整数を最大公約数という
(1)約数
> 約数: ある整数をわり切ることができる整数のこと
(例) 12の約数 : 1、2、3、4、6、12
整数=○×△で表せるとき、 ○と△は口の約数
(○、△は0ではない整数)
>□=□×1なので、1と口自身は必ず口の約数
(例)36の約数は全部で何個か?
(解) 36=1×36、 2×18、3×12、 4×9、 6×6
〇△で始めて
IO ≧ △となったら
打ち止め
なので、36の約数は {1、2、3、4、6、9、12、18、36}
の9個
(別解: 素因数分解と場合の数を使うと、)
36を素因数分解すると、 36 = 2×2×3×3。
(2) 公約数・最大公約数
公約数:2つ以上の数の共通の約数のこと
> 最大公約数: 公約数の中で最も大きな整数 (G.C.D.)
(例)36と48の公約数は、
36の約数:1、2、3、4、6、9、12、18、36
12346
48の約数:1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
> 最大公約数は連除法で求めることができる
ただし、3つ以上の数の最大公約数を求める場合、
1つでも割り切れない数があったら公約数ではないことに注意
(例)
2の倍数･･･ {1,2,2×2} の3通り
2) 16 24
60
最大公約数のときは、
3の倍数･･･ {1,3,3×3} の3通り
2) 8
12
30
全部の整数で
なので、この組み合わせは、 3×3=9[個]
割れないとダメ!
4
6 15
(例) 40をわると4あまる整数をすべて求めなさい
16, 24, 60の最大公約数は、 2×2 = 4
(解) 40 △=○あまり4となるので、
△xO + 4 = 40
40でわるとの
場合は、
倍数の問題
左側だけかける
△xO = 40-4=36
となるため、 わる数△は、 36の約数となる。
ただし、あまりが4のため、 わる数は4より大きい整数となる。
36の約数は{1、2、3、4、6、9、12、18、36}なので、
この中で、4より大きい整数は6、9、12、18、 36
(3) 互いに素
たが
互いに素 2つの整数の最大公約数が1の状態
(2つの整数に1以外に共通の約数が無い)
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3.5. 最大公約数の応用
2つの整数の積は、 2つの整数の最大公約数・最小公倍数の積と等しい
(1) 最小公倍数と最大公約数の関係
【定理(正しいことが証明されたもの) 】
2つの整数の積は、2つの整数の最大公約数・最小公倍数
の積と等しい
(2) 最大公約数を使った応用問題
(例)
39cm
整数ax整数b=最大公約数G×最小公倍数L
たての長さ26cm、 横の長さ39cmの
あつ紙を、あまりが出ないように切って、
同じ大きさの出来るだけ大きい正方形を
作ります。正方形は何枚できますか?
(解)
正方形の1辺の長さは、 たてと横の長さの最大公約数
|26cm
(例)2けたの整数が2つあります。 この2つの整数の積は320、
最大公約数が4のとき、この2つの整数は何と何ですか?
(解)
1 公式から最小公倍数を求める
最小公倍数は、320÷4=80
②連除法で最小公倍数を求める方法を思い浮かべる
連除法をイメージすると、
最大公約数4) a b
最小
右のようになり、4×xxy = 80。
xy 公倍数
よって、 xxy = 80÷4=20 となるような、 (x,y)の組を探すと、
(x,y) = (1,20), (2,10), (4,5) のいずれか。
求める整数は2けたなので、 (x,y) を4倍 (最大公約数) して、
2けたになるのは、 (x,y)=(4,5)だけ。
√ (x,y) = (1,20) のとき、 a = 1×4=4となり2けたにならない
√ (x,y) = (2,10)のとき、a= 2×4=8となり2けたにならない
√ (x,y) = (4,5) のとき、 a=16,b= 20となり両方とも2けた
したがって、このとき2つの整数は、4×4=16、5×4 = 20
26と39の最大公約数は13なので、正方形の1辺の長さは13cm
② たて、横それぞれ13cmの正方形をいくつ作れるかを
計算して、それをかけ合わせる
たて: 26 132[枚]
横 : 3913=3 [枚]
となるので、正方形は2×3=6 [枚]
(例) A、B、Cは1ではない整数で、
AxB = 28、 BxC=42のとき、 考えられるA・B・Cの組を、
(A,B,C) の形で全て答えなさい
(答) Bは28と42の公約数のうち、1を除いた整数になる。
28と42の最大公約数は14なので、
Bとして考えられるのは1以外の14の約数になる
B=2のとき、 A = 28÷2=14、C=42÷2= 21のため、
(A,B,C) = (14,2,21)。
同じようにに、 B = 7のとき、 (A,B,C) = (4,7,6)。
B=14のとき、 (A,B,C) = (2,14,3)。
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したがって答えは、 (14.2.21), (4,76), (2,143) の3通り
19

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中学受験新演習 小5算数 上
第4回
円と多角形
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ページ22:

4.1. 円と角度
●円とは、1つの中心からの長さが等しくようにかいたまるい形
●円の中心から円周の点までの線の長さを半径という。 半径は全て同じ長さなので、 中心と円周上の2点を繋
いだ三角形は、必ず二等辺三角形になる
(1) 円の定義
【定義(最初に決めた出発点) 】
(3)円と角度
円の中心から円周上の点までの
長さ(=半径)がみな等しいため、
二等辺三角形になる
角の大きさが
等しい
中心
円 1つの点から長さが
等しい点の集まり
直径
中心
円周 円のまわりのこと
半径
半径 : 中心と円周上の1点を結んだ
円周
円周上の点と直径を結んでできる
三角形は、 直角三角形になる
線の長さ(どれも等しい)
直径 : 円周上の1点から中心を通って反対側の円周まで
ひいた長さ
円周角
中心角: 円周上の2点と円の中心
を結んでできる円の中心
にある角
中心
円周角: 円周上の2点と、円周上
のもう1点を結んだ線分の
なす角
中心角
【成り立つ理由】
中心OとAを結んで二等辺三角形を作る
三角形OAB、 三角形OACは
どちらも二等辺三角形になり、
●同士、○同士の角の大きさは等しい
三角形ABCの内角の和は180°より、
● + ● + ○ + O = 180°
したがって、 角Aは + ○ = 90°
#
○
th
C
中心
円周角
(2) 円の性質
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(円周角の定理)
円周角の大きさ
<中心
直径= 半径×2
=中心角の大きさ +2
直径は、円の中に引いた直線の中で最も長い
【成り立つ理由】
中魚
上と同じ。 180°を中心角と読み替える
21

ページ23:

4.2. 多角形
● N角形の内角の和=180°× (N-2) (例:五角形ならば180°(5-2)= 540°)
●N角形の対角線の本数=Nx(N-3)+2 [本] (例: 五角形ならば5×(5-3)+25[本])
(1) 内角・外角
> N角形の内角の和=180°x(N-2)
【成り立つ理由】
1つの頂点から、となり以外の頂点に直線を
引くと、 三角形ができるので、
(2) 対角線の数
N角形の対角線の本数=Nx(N-3)+2 [本]
1つの頂点から、となりの2つ以外の頂点に
対角線を引くことができるので、
五角形の場合、
頂点53
となりの
2本ずつ
となりの
X 頂点
1つの頂点から引ける対角線の数はN-3本 頂点
N個の頂点があるので、 対角線の数は
【成り立つ理由】
1
3
2
N角形は、 N-2個の三角形に分けることができる
三角形の内角の和は180° なので、 180°× (N-2)
N角形の外角の和=360°
五角形の場合、
3個の三角形に
分けられる
【成り立つ理由】
(N-3)xN2 [本]
1つの頂点で、内角 +外角= 180°
N角形の内角と外角の合計は、 頂点がN個
あるので、 180°×N
おたがいの頂点から重複して数えているため、
おたがいの
頂点から重複して
カウント
(3) 星型の角度
(N-3)xN本引けるが、
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内角の合計は、180°× (N-2) なので、
五角形の場合、 対角線は5本で一筆書きすると星型になる
一筆書きの角度の和は、真ん中の多角形の外角の和を利用
A
外角の合計は残りの 180°×2=360°
Point
正多角形でなくて、 普通の多角形でも成り立つ!
(例) 内角の1つが150°の正多角形は何角形か?
(例) 右の5つの角度の大きさの和は?
(解) 真ん中の五角形に注目して、
それぞれの角の外角に●をつける
五角形の外角の和は360°なので、
この合計 = 360°
B
E
(解) 内角+外角=180°なので、
外角= 180°-150°=30°
同様に、○の合計=360°
外角の和は360°なので、 360 30 12個頂点があるの
で、正十二角形
外側5個の三角形に注目すると、
C
(別解) 内角に着目すると、 180°× (N2) + N = 150°
N = 360+30 = 12 なので、 正十二角形
※内角に注目すると逆算しづらいので、そのときは外角に注目!
求める角度の大きさの和+の合計+○の合計
=三角形内角の和×5
になるので、 求める角度の大きさの和は、
180°×5-360°-360°=180°
22

ページ24:

4.3. 正多角形
正多角形は、辺の長さも角の大きさが全て等しい多角形で、 円周を等分した点を順にむすんだ図形
(2)対称
(1) 正多角形
> 正多角形 辺の長さも角の大きさも全て等しい多角形
円周を等分した円を順に結んだ多角形
線対称: 1本の直線を折り目として2つ折りにしたときに
両側の部分がぴったり重なる図形
正五角形
【性質】
正六角形
【定義】
軸
軸までの
距離が同じ
軸で分割した
2つの図形は同じ面積
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点対称 1つの点を中心にして180°回転させたときに、
元の図形にぴったり重なる図形
【性質】
▼中心までの ▼中心を通る線で分割した
距離が同じ 2つの図形は同じ面積
正N角形の中心角=360 N
正五角形
正六角形の一辺と
正六角形 同じ正三角形が
6つできる
【定義】
360°+5
= 72°
360°+6
=60°
中心
中心
中心
(例) 右図は正十角形です。 x は何度か ?
A
(解) 正十角形の中心から補助線を引くと、
∠AOB = 360° ÷ 10×3 = 108°
三角形OACは二等辺三角形より、
∠OAB = (180-108)÷2=36° B
中心角∠AOC = 360°+10=36°より、
∠OAC = (180°-36°) + 2 = 72°
したがって、 x = 72°-36°=36°
正三角形
正方形
正五角形
正六角形
中心角
120°
90°
72°
60°
内角 (1点)
線対称
60°
90°
108°
120°
3辺分なので
点対称
×
×
中心角も3個分
23
対角線
0本
2本
5本
9本

ページ25:

4.4. 正多角形の角度
● 正多角形の角度を求める問題は、 外接する円の特性を使って解く
特に、偶数の正多角形の場合、 一番遠い対角線は直径となり円の中心を通る
(1)外接円の活用
> 正多角形の角度を求める問題の解くときには、 外接する円とその中心をかいて活用する
① 中心と2頂点の結ぶ二等辺三角形を活用
> 中心角=
1角あたりの中心×辺の数
辺の数
二等辺三角形
中心角
(例) 右図の正八角形の場合
辺の数が3つなので、
○
#
360°
中心角 = -x3 = 135°
8
③直径と頂点を結んでできる角は直角
頂点の数が偶数の正多角形の場合、
一番遠い頂点同士を繋ぐと直径になる
直径ともう1つの頂点との間でできる
角は90°(円周角の定理より)
直径
>中心と結んだ三角形は二等辺三角形
②線対称を活用して、 等脚台形を見つける
>線対象となっている頂点
同士を結んだ直線は
✓ 軸に対して垂直
▼ 直線同士が平行
等脚台形の場合
○+● = 180°
軸
(2) 共通な辺の利用
2つの正多角形が共通の辺をもつとき、 2つの正多角形の
すべての辺の長さが等しい
(例) 右図の通り、 正三角形と
正五角形を組み合わせたとき
xは何度?
(解) 正三角形と正五角形は
同じ辺BCを持つので、
D
A
すべての辺の長さが等しい。
1108%X
すると、AB = DBとなり、
三角形ABDは二等辺三角形。
#
B
角ABD = (正五角形の内角) (正三角形の内角)
=108°-60° = 48°
x = (180°-48°) + 2 = 66°
=
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ページ26:

中学受験新演習 小5算数 上
第6回
消去算/代入算
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ページ27:

6.1. 消去算
● 消去算は、2つ以上ある数量を、 どちらか一方にそろえてもう一方を消すことで、 数量を求める問題
●
2つの式で、 数がそろっていないとき、式を〇倍にして消す方の数量を合わせる
(1)消去算の基本
(例) えんぴつ6本と消しゴム2個を買うと190円、
> 消去算:2つ以上ある数量を、 どちらか一方にそろえて
もう一方を消すことで、数量を求める問題
えんぴつ4本と消しゴム2個を買うと160円でした。
消しゴムはいくらですか?
解き方・考え方
①問題文をx,y,あ 等を使って式で表す
えんぴつ1本をx円、
消しゴム1個をy円とすると
◆◆=190円
6xx + 2xy = 190 -) //!
4xx + 2xy=160
◆◆=160円
= 30円
②どちらか消したい方をそろえて、 ひき算する
消しゴムが2個ずつでそろっているので、そのままひき算すると
6xx + 2xy = 190 ...①
･･･ ②
2xx
=30
(2) 加減法
加減法: 式どうしをたしたりひいたりして、一方の数量を消去
する解き方
2つの式で、数がそろっていないとき、式を〇倍にして消す方
の数量を合わせる
(例) えんぴつ4本と消しゴム1個を買うと110円、
えんぴつ6本と消しゴム2個を買うと190円でした。
消しゴムはいくらですか?
解き方・考え方
①問題文をx,y, あ等を使って式で表す
えんぴつ1本をx円、 消しゴム1個を円とすると
| 4×x+1xy=110 ...①
6xx + 2xy=190 ...②
②どちらか消したい方をそろえて、ひき算する
①を2セットにすると、 消しゴムが2個でそろうので
① x2 : 8xx + 2xy = 220
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-) 4xx + 2xy = 160
1個あたりの数量を逆算 (わり算) して求める
えんぴつ1本の価格は、 x=30÷2=15[円]
消しゴム1個の価格は、①の式にxを代入すると
6x15 + 2xy = 190
y = (190- 6×15) + 2 = 50[円]
-) ②:
①
2xx
6xx + 2xy = 190
=30
110円
110円
合計: 220円
③ 1個あたりの数量を逆算(わり算) して求める
えんぴつ1本の価格は、x=30÷2=15[円]
これを②の式にxを代入すると、 6×15 + 2xy = 190
y = (190-6×15) 2 = 50[円]
26

ページ28:

6.2. 複雑な加減法
●合わせたい数量が片方だけ○倍しても合わせられないときは、 両方とも最小公倍数になるように○倍する
● 特定の合計を出すときは、 求める数量になるように式を変形する
(1) 両方の式を倍する加減法
(例) えんぴつ6本と消しゴム5個を買うと340円、
えんぴつ4本と消しゴム2個を買うと160円でした。
消しゴムはいくらですか?
解き方・考え方
1 問題文をx,y, あ等を使って式で表す
えんぴつ1本をx円、 消しゴム1個をy円とすると
6xx +5xy = 340 …①
_4xx + 2xy = 160
②それぞれの式を消したい方の最小公倍数で合わせる
えんぴつを消すため、 6と4の最小公倍数である12に合わせる
①は両辺を2倍、 ②は両辺を3倍すると
① ×2 : 12xx + 10xy = 680
- ②x3:12xx + 6xy = 480
4xy = 200
▼ 消しゴムを消す場合には、5と2の最小公倍数である
10に合わせる
Point
(2) 特定の数量を出す問題
> それぞれの1つあたりの数量を出すのではなく、 特定の合計を
出すときは、 求める数量になるように式を変形する
変形 たしたり、 ひいたり、 ○倍すること)
(例) えんぴつとシャープペンを1本ずつ買うと415円、
シャープペンとボールペンを1本ずつ買うと750円、
えんぴつとボールペンを1本ずつ買うと365円になります。
えんぴつとシャープペン ボールペンを1本ずつ買うと、
合計いくらになりますか?
(解) えんぴつを円、 シャープペンを円、 ボールペンを2円とすると、
= 415
1xy + 1xz = 750
1xx + 1xy
+) 1xx
分配法則を使ってまとめると
+ 1xz = 365
2xx + 2xy + 2xz = 1530
2x(x + y + z) = 1530
x +y + z = 1530÷2=765
したがって、 えんぴつ シャープペン ボールペンの合計は、765円
Point
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簡単に消せる方に合わせる方が、ミスが少なくなります!
③ 1個あたりの数量を逆算 (わり算) して求める
消しゴム1個の価格は、y=200÷4=50[円]
・それぞれの数量を出すときにも、全て1つずつの合計を出すと、
計算がしやすいときがあります!
(例) ボールペンは、765-415=350[円]
ボールペン以外の合計
27

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6.3. 代入算
● 代入算は、一方の数量をもう一方の数量に置きかえて、 数量を求める問題
(解き方について、 中学では代入法という)
(1) 代入算の基本
代入算 一方の数量をもう一方の数量に置きかえて、
数量を求める問題
(例) えんぴつ6本と消しゴム2個買うと190円でした。
消しゴム1個は、えんぴつ3本より5円高いです。
消しゴムはいくらですか?
(2) つり合った天びんの問題
天びんでつり合ってるおもりの個数の関係から、 基準に決めた
おもりの何個分かを考える
(例) A、B、Cの3種類のおもりを、 以下の図のようにのせる天びんが
つり合います。 Aのおもりが50gのとき、B・Cは何gですか?
解き方・考え方
問題文をx.y.木等を使って式で表す
○倍するときは、
A A
B
図1
AA
BB
図2
ACC
えんぴつ1本をx円、
消しゴム1個をy円とすると
えんぴつも金額も
共に〇倍 (分配法則)
6xx + 2xy = 190
..1
◆!!! 5円
y = xx3+5...②
2倍
2倍 2倍
(解) 図1より、Bのおもり1個は、Aのおもり2個分とわかるので、
Bのおもり1個は50[g]x2100[g]
図2より、Bのおもり1個をAのおもり2個で置きかえると、
5円
A A
[B
B
ACC
② ②①に置きかえる (代入法)
置きかえる
1/1 5円
②を2倍にして、2xyを作って置きかえる
10円
AA
AAAA
=
ACC
②x2 : 2xy = 2x(xx3+5)=6xx + 10
交換法則より、 2xxx3 = 2x3xx
①:
6xx +
2xy
=190
「置きかえる」
6xx + (6xx + 10) = 190
逆算して求める
6xx + (6xx + 10) = 190
12xx + 60 = 190
逆算 C
x = (190-10) 12=15[円]
両方にAが1個ずつ乗っているので、 1個ずつ取り除くと、
AA AA AA =
[ACC
Cのおもり2個分は、Aのおもり5個分と同じことがわかります。
したがって、Cのおもり1個は、 50 [g]×52125[g]
28

ページ30:

6. 【参考】マルイチ算
●x,y,zなどを用いても良いが、文字を使わず①、 1、 △ などを使って数量を表しても良い
(マルイチ算と呼ばれる)
(1) ①を使った消去算
(例) えんぴつ6本と消しゴム5個を買うと340円、
えんぴつ4本と消しゴム2個を買うと160円でした。
消しゴムはいくらですか?
> 解き方・考え方
1分からない数量や金額などを使って ① ① △ で表す
えんぴつ1本を① 円、 消しゴム1個を1円とすると
⑥ + 5 = 340
...(a)
④ + 2 = 160 ...(b)
②それぞれの式を消したい方の最小公倍数で合わせる
えんぴつを消すため、 6と4の最小公倍数である12に合わせる
(a)は両辺を2倍、(b)は両辺を3倍すると
(a)x2 12 + 10 = 680
-) (b)x3: 12 + 6 = 480
44 = 200
(2) ①を使った代入算
(例) えんぴつ6本と消しゴム2個買うと190円でした。
消しゴム1個は、 えんぴつ3本より5円高いです。
消しゴムはいくらですか?
解き方・考え方
①分からない数量や金額などを使って ① 1 △で表す
えんぴつ1本を ①円、
消しゴム1個を1円とすると
⑥ +
=190 ...(a)
1 = ③ +5 ... (b)
② (b)を(a)に置きかえる(代入法)
(b)を2倍にして、②を作って置きかえる
(b)x22=2x
○倍するときは、
えんぴつも金額も
共に〇倍(分配法則)
◆!!! 5円
2倍
2倍 2倍
◆5円
=
5円
・60円
③ +5 = + 10
分配法則より、 ○と数量を共に2倍にする
(a): 6+ [2]
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= 190
✓ 消しゴムを消す場合には、5と2の最小公倍数である
10に合わせる
置きかえる
6 +
Point
③逆算して求める
簡単に消せる方に合わせる方が、ミスが少なくなります!
③ 1個あたりの数量を逆算(わり算) して求める
消しゴム1個の価格は、1=200÷4=50[円]
逆算
⑥ + 10 = 190
⑥ + ⑥ + 10) = 190
12 +10=190
① = (190-10)+12 =15[円]
29

ページ31:

6. 【参考】消去算・代入算を数学で解く
● 消去算・代入算は、連立一次方程式の解法 (加減法、 代入法) もの (中学2年)
(1) 連立一次方程式
(3) 二元一次方程式の解き方
括弧を払ったり(計算したり)、両辺を掛けたり割ったりして、
ax + by = cの形に直す
> 連立方程式 : 方程式をいくつかの組にしたもの
(例)
xy
> 2元1次方程式: 2つの文字を含み、 それぞれについて
1次方程式であるもの
-=1
2x + 6(y-5) = 36
(2) 連立一次方程式の解法
(解)
与えられた式を変形して、文字が1つの1次方程式を作る
①代入法
> 文字x, yについての連立方程式から、
方針
解法
②加減法
方針
を消去して解く方法
yを含まない方程式を作る (yを消去する)
>y = ax + bのように、yについて解く
もう一方の式に代入する
1つの文字の係数の絶対値をそろえ、両辺を
それぞれ、足したり引いたりして、1つの文字
計算が簡単な文字を選んで消去する
式が複雑な場合、 括弧などを先に計算して、
ax + by = cの形に直しておく
①×12:
②:
4x-3y=12 ... ①'
2x + 6y-30= 36
2x + 6y = 66 ... ②'
②xyどちらかの係数の絶対値を合わせる
yの係数の絶対値を、3と6の最小公倍数の6に合わせる
①'x2:
8x-6y = 24 ... ①"
③2つの式を足したり引いたりして、 片方の変数を消して、
普通の (1変数の) 1次方程式を解く
①+②':
8x - 6y = 24
+) 2x + 6y = 66
10x
=90
x=9
... ③
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解法
分数や小数の場合は、 両辺に適当な数をか
けて、係数を整数にしてから解く
1つの文字の係数の絶対値の最小公倍数
になるように、両辺をかけ算する
2つの式を足したり引いたりする
④もう1つの変数を、 今までの式にいずれかに代入して、
もう1つの変数の1次方程式を解く
③①'に代入して
4×9-3y=12
y = 8
30
30

ページ32:

中学受験新演習 小5算数 上
第7回
平均の面積図
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7.1. 平均
● 平均とは、 合計 個数で求める
(1) 平均とは
(2)3つ以上の数量の平均
へいきん
平均: 何個かの数を同じ大きさになるようにならしたもの
3つ以上であっても平均の求め方は同じ
12才
月曜
火曜
(例) 三郎くんの勉強時間の平均は?
水曜
木曜
金曜
8才
+2才 2才
30分
60分
30分
0分
90分
弟
同じ数!
月曜から金曜の勉強時間の合計は、
平均 10才
30 + 60 + 30 + 0 + 90 = 210[分]
したがって、 平均時間は、
平均を求めるには、 全部合計してから個数 (人数)で
割ると求めることができる
2105 = 42[分]
月~金までで合計5日間
【公式 (定義)】
平均=合計: 個数
合計=平均×個数
(3) 棒グラフと平均
> 平均は、 棒グラフの高い項目を低い項目にならしたもの
平均より高い項目の合計と平均より低い項目の合計は同じ
90
80
(例) 兄と弟の年令の合計は12+8= 20[才]
そのため、 平均は20210[才]
70
348分
60
50
18分
平均
40
のべ 同一の対象が複数回含まれていても、それぞれ
の回数を個別にカウントして合計した総数
12分
12分
〒42分
30
20
42分
10
0
月曜
火曜
水曜
木曜
金曜
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7.2. 平均の応用
異なる平均同士をたしたり・ひいたり、 平均自体の平均を求めても合わさった平均にはならない
● 相関表は、 2つのことがらについてまとめた表
(1) グループごとの平均と全体の平均
グループごとの平均から、 全体の平均を求めるとき、
グループごとの平均自体の平均を求めるのはダメ!
全体の平均を求めるときは、 必ず、
(2) 相関表
そうかんひょう
> 相関表: 2つのことがらについてまとめた表
(例) 40人のクラスで、5点満点の
5点
2
1
全体の合計 +全体の個数
で求める
算数と国語のテストを行いまし
た。 右の表は、 その点数と人
4点
3
1
3点
9
8
(例) 40人のクラスで算数のテストをやりました。
男子15人の平均点が72点、 女子の平均点が68
点のとき、 クラス全員の平均点は?
数うの関係を表したものです。
たとえば、算数が2点で国語が
3点の人は7人います。
2点
1 67
1点
2
(解) 男子の点数の合計は、 72×15=1080 [点]
女子の点数の合計は、 68×25=1700[点]
なので、クラス全員の平均点は、
(問1) 算数と国語の合計点の平均は
何点ですか?
1点 2点 3点 4点 5点
国語
(1080 +1700) (25+15)=69.5 [点]
平均点
人数
合計
(解) 算数の合計点は、
1×2 + 2×14 + 3×17 + 4×4 + 5×3 = 112[点]
国語の合計点は、
1×3 + 2x15 + 3×15 + 4×5 + 5x2 = 108[点]
したがって合計点の平均は、 (112+108)+40=5.5 [点]
(問2) 算数と国語の合計点が6点以上の人は何人いますか?
男子
72点
× 15人 = 1080点
+
+
女子
68点
×
25人 = 1700点
||
#
(解) 算数+合計が6点になるには、
(算数, 国語)
5点
2 1
4点
3
1
=(5,1),(4,2),... (1,5)
3点
9
8
対象範囲は
合計
69.5点 x 40人 = 2780点
×
○
○
となるので、 右表の赤色部分
の合計が答え。
ギザギザに
2点
1
6 7
1点
2
平均同士を
たさない!
個数 (人数)や合計は
たすことができる
8+2+3+1 +1 = 15[人]
1点 2点 3点 4点 5点
国語
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7.3. 面積図の活用
2026/4/11改定
●複雑な平均の問題を解くときは面積図で考えることがおすすめ
● わかっている数値をたて・横になる長方形と、 同じ面積になる長方形を見つけることがポイント
(1) 面積図と平均
面積図を使うと解きやすい
グループごとの平均や全体の平均を求めるとき、
縦: 平均点 横 : 個数
(例) あるグループの人数は8人で、 算数のテストの平均は73.5
点でした。 この8人に平均が83点のグループを
加えると、全体の平均が79点になりました。
加えたグループの人数は何人ですか? (青山学院中等部)
(2) 2グループ間の平均の差が与えられている問題
(例) あるクラスは男子8人、 女子3人で、 算数のテストの全員の
平均は73.5点でした。 男子の平均点は女子の平均点より
9.5点低いです。 男子の平均点は何点ですか?
(解) 1面積図を書く
9.5点
女子
79点
X点
男子
(解)
①面積図を書く
8人
11人
②方法1 共通部分を含めて同じ面積の長方形を作る
イ
ア
83点
79点
73.5点
8人
x人
最初のグループ
後のグループ
共通部分含めるとア+ウ=イ+ウ。
ア+ウ=9.5×11=104.5[点]
イウの長方形と同じなので、
y=104.5+19=5.5[点]
したがって、 男子の平均点は、
79-5.5 73.5[点]
11人
ア
9.5点
点]
ウ
女子
79点
x点
男子
19人
面積の合計が平均にならす前と後で同じになる
②方法2 同じ面積のたての長さを逆比で求める
ア
=
共通部分
共通部分
アとイの面積が同じなので、
②同じ面積になる部分に着目して、式を立てる
アのたてのたて=8:11
よって、 8 +11=9.5
ア
9.5点
イ 11
女子
共通部分をひくと、 アとイの面積が同じになる
ア= (79-73.5)×8 = 44
x=イ÷ (83-79)=44(83-79)= : 11[人]
① = 9.5 ÷ 8 +11 = 0.5[点]
したがって、 男子の平均点は、
79-0.5×11=73.5[点]
男子
34
8人
11人一
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中学受験新演習 小5算数 上
第8回
割合(1)一割合の性質
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8.1. 割合と相当算
●割合とは、ある量がもとにする量の何倍にあたるかを表す数。 比べる量もとにする量で求める
● 相当算は、 割合を利用して1あたりの量を求める問題
(1)割合
> 割合 : ある量が、 もとにする量の何倍にあたるかを表す数
【定義】割合の求め方 Aは、Bの何倍
A: 比べる量
割合
[倍]
B: もとにする量
(2) 相当算
相当算: 割合を利用して1あたりの量を求める問題
もとにする量比べる量 割合 を活用
(例)ある小学生が所持金の2/3より50円多く使って本を買ったところ、
(例) 姉が2000円、 妹が800円持っているとき、
▼ 姉の所持金は、妹の 2000800=2.5[倍]
姉
妹
2.5
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妹の所持金は、 姉の 800 2000=0.4[倍]
1
姉
妹
10.4
350円残りました。 はじめの所持金は何円でしたか?
解き方・考え方
①基準にする人・ものを①として、線分図を書く
ここでは小学生の所持金を①とおいて、線分図を書く
150円、
本の代金
・350円
比べる量もとにする量×割合
2
(例) 姉が2000円、 妹が姉の 倍持っているとき
2
妹は、2000×==800 [円]
(別解)妹の所持金をx円として割合の式に当てはめると、
x+2000=
2
- からxを逆算で求めてもOK
②基準にしている量のちょうど○倍になるように合わせる
①-= が、50+350 = 400 [円] にあたるので、
③ 倍数の合計でわって、 ①を求める
400x5
400 +
= 1000 [円]
2
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8.2. 分配算
● 分配算は、一方が他方の○倍という関係から、 元の数量を求める場合に使用
(1) 分配算の基本
分配算 2つの量の和と、 一方が他方の○倍という
関係から、 元の数量を求める場合に使う
(例) 2500円のお金を、兄の方が弟の3倍より300円少なく
なるように分けると、兄はいくら受け取りますか ?
解き方・考え方
基準にする人・ものを①として、線分図を書く
「兄の方が弟の3倍」とあるので、 弟を基準にすると分かりやすい
#
(2) 差がわかっている分配算
2つの量の差から求める場合もある
まずは線分図を書き、 求める部分が線分図のどこになるか
を確認する
(例) お父さんは娘より36才年上で、 今は娘の5倍よりも4才年下
です。 今、娘は何才ですか?
解き方・考え方
①基準にする人・ものを①として、線分図を書く
「(お父さんは)今は娘の5倍より4才年下」とあるので、
娘を基準とすると分かりやすい
兄
①
弟
300
2500
②基準にしている量のちょうど○倍になるように合わせる
兄
#
2500+300
①
300
=2800
弟
倍数の合計でわって、 ①を求める
弟は、2800÷ (③ + 1) = 700[円]
したがって兄は、 700×3-300=1800[円]
※あるいは二人の合計から弟をひいて、
2500-700=1800 [円] でもOK!
⑤
36
娘
②基準にしている量のちょうど○倍になるように合わせる
⑤ ① = ④が36+ 4 = 40になる
父
娘
⑤
36
40
③倍数の合計でわって、①を求める
娘の年令は、40410 [才]
Point
4
どちらかの条件からお父さんの年令を出して (10 +3646)
もう1つの条件も正しいとわかる (10×54=46) と検算ができる!
37

ページ39:

8.3. 割合が出てくる還元算
● 還元算とは、もとにする量をわかるところから順に求めていく解き方
● もとにする量が異なるいくつかの割合が出てくるとき、 都度○、△ (x, y) などを使い線分図を書く
(1)還元算
還元算: もとにする量をわかるところから順に求めていく
解き方
(例)Aさんはある本を、1日目は 1/23より4ページ多く読み、
2日目は残りの22より3ページ少なく読んだところ、
(2) 工夫するテクニック
全てを①、 1 と置かずに、 割合の分母の数に合わせると、
計算が楽になることがある
左の(例)の問題の場合
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本全体を3、2日目時点の残りページを 4 と置く
3.
残りが30ページになりました。 本は全部で何ページか?
(基本的な) 解き方・考え方
1日目
4
2日目
割合のもととなるものを①として、線分図を書く
残り
1日目
2日目
残り
3
30
ページ
②①の問題文の逆順で還元算を2段階使って求める
2日目時点では、1=(30-3)1-
(一)
|=108
この結果を使って、本のページ数は、
1 = (108+4)÷
+ (①-}) =.
=168[ページ]
2日目時点では、 4 = (30-3)-(4-3)x3 = 108
本全体で、 ③= (108+4) ③-1x3=168 [ページ]
38

ページ40:

8.4. 割合の合成
● ①、 など基準が違う割合を合わせるとき、 かけ算することで基準を合わせて割合を合成することができる
●合成するときには、 ① 数量それぞれに対して分配法則を使う
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(1) 割合の合成
かけ算することで基準を合わせることが可能
2
1 などの、 ①以外を ① にそろえる
b
b d
Aが全体の
BがAのこのとき、Bは全体の2x
2日目の最初は、
|-
a
a
C
1
(例)Aさんはある本を、1日目はより4ページ多く読み、
2日目は1日目の2よりページ多く読んだところ、
残りが全体のになりました。 本は全部で何ページか?
解き方・考え方
①基準にする人・ものを①、 それ以外を などとして、
線分図をかく
本全体のページ数を ①
1日目終了後の残り (2日目の最初のページ数を1とする
(1
2日目終了後の残りは、
①と数量それぞれで
分配法則を使う
分配法則
(a+b)xc=axc+bxc
(a-b) xc=axc-bxc
Point
J-4= -4となるので、
(-4)× (0-4)-3
式変形するときに線分図を見ながら、
+やーを考えると間違いにくい
割合の合成
・3
=(-1)-3 = -4
③2通りの式の表し方をで繋いで、①を逆算で求める
残りのページに着目して、
-4=
1日目
ページ
2日目
残り
1
問題文前半 問題文後半
したがって、 ① =4÷
= 168[ページ]
ページ
39

ページ41:

中学受験新演習 小5算数 上
第9回
割合(2)一百分率と歩合
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ページ42:

9.1. 百分率と歩合
●%(パーセント) とは割合の単位で0.01 (1/100)を1%と定義 (例) 0.25=25%、 1.2=120%
● 歩合(割、分、厘、・・・) も割合の表し方で、 1割 = 0.1 (1/10) 1分=0.01 (1/100)
● ①を求めるときは でわり、 を求めるときには、①の数量に nをかける
(1)百分率
% (パーセント) : 割合の単位
【定義】
1
1% = 0.01 =
100
(3) 問題文での割合の表現
問題文の書き方で、×と÷を間違えないように注意
Point
整数に置きかえて考えるとわかりやすい!
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百分率は、もとにする量を100したときの割合
1
(例)
= 0.125=12.5%
8
(2) 歩合
割合
1
0.1
0.01
0.001
(小数)
1
1
(分数)
1
10
100
1
1000
百分率
100%
10%
1%
0.1%
歩合
10割
1割
1分
1厘
(例) 2割5分=25% 3割2分5厘=32.5%
ロ ①を求めるとき
→ nでわる
(例) 0.8=1200 のとき
→1=1200÷0.8
=1500
?
ロ ①をもとに n を求める
→ n をかける(n倍する)
(例) ①1=1500 のとき
0.8=1500×0.8
= 1200
1500
(1)
-1200
0.8
?
(0.8
(1)
<問題文での例>
▼全体の3割が450個
→ 全体は
450÷0.3=1500個
√3割引で700円
→700円が7割分に相当
→もとは700 +0.7 = 1000
<問題文での例>
√ 120人の30%は?
→120人が全体 (100%)
→120×0.3= 36
2
√ 132円のは?
→132×
|=88円
41

ページ43:

9.2. 売買損益の基本
● 売買損益の問題では、もとにする量をしっかり把握し、 ① として式を立てることが必要
● 利益=売り値一仕入れ値で、売り値> 仕入れ値となってしまうときは損失となる
(1) 売買損益の基本
お店がもうかる (利益を得る) ためには、商品の
仕入れ値(原価)よりも売り値を高くする必要がある
(2) 値引き・損失
売れなかったとき等、値引きして (売り値を下げて)
売り値を設定する
売り値
(売価)
実際に売ったときの値段。 定価から値引きすることで、
仕入れ値よりも安い値段になることがある
定価
仕入れ値
商品を仕入れるときの値段
(原価)
定価
仕入れた商品を、お店で決めた値段
売るお店
利益
仕入れ値
売り値から仕入れ値をひいた、 お店が得たお金
(もうけ)
(原価)
利益
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売り値
(売価)
値引き
→ 定価の1割引にすると、売り値は1300×(-1) = 1170[円]
売ったときの実際の利益は、 1170-1000=170[円]
売るお店
買う人
仕入れ値
(原価)
左の (例)で
利益
定価
買う人
損失
売り値が仕入れ値が安いときに、売ることでお店が
損したお金。 仕入れ値売り値=損失
(例) ある品物を1000円で仕入れて、 3割増 (3割の利益を見込ん
で) 定価をつけました。
定価
-
→ 定価は、1000×(1+0.3)=1300[円]
売るお店
仕入れ値
定価
(原価)
損失
仕入れ値 (1
(見込みの)
利益
(0.3
~売り値 ( 売価)
値引き
買う人
42

ページ44:

9.3. 複数個の売買損益
●複数個売買する場合は、 面積図を使ってそのときの売り値(たて)×個数 (横)を考える
(1)複数個の売買損益
全体の利益=売り上げの合計−仕入れの合計
たてに売り値 横に売った個数となるような面積図を書く。
このとき面積が売り上げの合計になる
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(例) ある商店でりんごを1個150円で40個仕入れました。
仕入れ値の5割の利益を見込んで定価をつけて売ったところ、1
日目は30個売れました。
2日目は定価の2割引で売ったところ、 残り全部売れました。 全
体の利益は何円になりましたか?
値引き
(解)
利益
全体の利益
仕入れ値を①として面積図をかく
定価
売り値
仕入れ値
仕入れの合計
(売価)
利益
値引き 1.5×0.2
全体の利益
(原価)
定価
1.5)
仕入れ値
150円
=①
1.5×0.8
仕入れの合計
割合の
合成
30個
個数
|10個
売った数
Point
1個ずつの場合の価格の線分図を
左に90°回転した絵をかく
仕入れ値
商品を仕入れるときの値段
(原価)
定価
仕入れた商品を、お店で決めた値段
利益
売り値から仕入れ値をひいた、お店が得たお金
(もうけ)
売り値
(売価)
実際に売ったときの値段。
定価から値引きすることで、 仕入れ値よりも安い値段
になることがある
②求めたい図形の面積を計算する
1日目の売り上げ合計は、 (150×1.5×30=6750[円]
2日目の売り上げ合計は、(150×1.5×0.8)×10=1800[円]
仕入れの合計は、150×40= 6000[円]
全体の利益は、6750 + 1800-6000=2550[円]
(別解) 黄色の面積 = 75×30+30×10= 2550[円]
(左側・1回目) (右側・2回目)
43

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9.4. 損失が発生する場合
● 損失の場合は利益の合計からひくことに注意。 仕入れ値より高いか安いかを確認
● 損失が発生するかもしれない場合は、 あらかじめ利益にたしてうめ合わせして単純にしてから計算
(1) 損失が発生する場合の売買損益
売上ベースでトータルの利益を算出すると計算が複雑に
なるが、利益・損失にのみ着目して解くと計算が容易
ただし、損失のときには、 利益からひく (マイナスする)こと
に要注意
(例) ある品物を120円で10000個仕入れて、はじめは18%の
利益を見込んで6000個売りました。
その後、利益を10%にして3000個売りました。
(2) 損失が発生するかもしれない場合の売買損益
損失が発生する(かもしれない) 場合、 うめ合わせを
してから計算する (単純にすることがポイント!)
(例) ある品物を10000個仕入れて、 はじめは18%の利益を
見込んで6000個売りました。
その後、利益を10%にして3000個売りました。
残りの1000個は1個につき、 さらに20円引きにして売りました。
売上総利益が157600円のとき、 この品物の1個の
仕入れ値は何円ですか? (山脇学園)
残りの1000個は1個につき、さらに20円引きにして売りました。
(解)
(解)
仕入れ値のラインに気をつけながら面積図をかく
問題文で仕入れ値が与えられている場合、
①と置かずに金額を計算して、利益か損失かを判断
120×0.18
= 21.6円
120円
仕入れ値を①として面積図をかく
さらに20円引いたとき、 利益になるか損失になるか
わからないので、その分を利益にたすとわかりやすくなる
120×0.1
12円
コウ 2012
1.18
=8円
~6000個
3000個
1000個
②仕入れ値より上の面積を利益、
仕入れ値より下の面積を損失として計算
21.6×6000 + 12×3000-8×1000=157600[円]
120円
(1.1)
①
・6000個
3000個
1000個
2長方形の面積から、 求めたい (辺の長さ)を計算
緑の面積は、1000×20 20000 [円] なので、
赤の点線部分は、 157600 + 20000=177600[円]
これを、○で表すと、 0.18×6000 +0.1×4000 = 1480 なので、
仕入れ値 ①=1776001480=120[円]
44

ページ46:

9.5. 特殊算の利用
●途中で売り値が変わり、 売れた個数がわからない場合は、 つるかめ算を使って答えを出すことができる
●売れ残る問題の場合、 差集め算を利用して全部売れたときに補正すると、 利益から仕入れた個数を出せる
(1) つるかめ算の利用
途中で売り値が変わって、 各条件のときに売れた個数を
求める場合、 つるかめ算を利用
(例)ある商店で品物を230個仕入れて、 仕入れ値の25%の利
益を見込んで定価1000円で売ったところ、 売れ残りました。
そこで、売れ残った品物については、 定価の10%引きで売っ
たところ、 全て売り切れ、 利益は32200円でした。
(解)
10%引きにして売った品物の個数を求めなさい。
(東邦大学附属東邦中改題)
面積図をかく
(2) 差集め算の利用
売れ残ったり捨てたりする問題の場合、 差集め算を利用して、
仕入れた個数を出せる
(例) みかんを50円で何個か仕入れて、 仕入れ値の6割増しで売った
ところ、6個売れ残り、 全体の利益は120円になりました。
みかんを全部で何個仕入れましたか?
(解)
仮にみかんが全部売れたとしたときの利益を出す
180
売り値
仕入れ値
80 80
800
50 50
50 50 ... 50
利益
30
30
30 30
30
...
6個
利益=32200円
1000円
1000×0.9
800×230=184000[円]
900[円]
1000 +1.25
=800[円]
個
230個
②全部定価で売れたと仮定して、 実際との差分を出す
全部定価で売れたと仮定すると、 売り上げは、
1000×230=230000[円]
しかし、実際の売上は、 184000 +32200=216200[円]
したがって、実際との差分 230000216200=13800[円]
③1個ずつの差分でわって個数を出す
13800+ (1000-900)=138[個]
x個: 120 +80×6=600円
売れなかったみかんが仮に全部売れたとすると、売上が
50×1.6×6 = 480 [円]増える。
全体の利益も480円増えるので、 120 + 480 = 600円の見込
②合計の利益を1個ずつの利益でわる
(売り値と仕入れ値の差が利益)
600÷ (80-50)=20[個]
利益の 1個あたりの
合計
利益
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ページ47:

中学受験新演習 小5算数 上
第11回
つるかめ算
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11.1. つるかめ算
● つるかめ算は、 2つ以上の異なるものの合計数だけが分かっている時に、それぞれがいくつかを求める問題
● 一方におきかえて解く方法と、 面積図を使って解く方法がある
(1) つるかめ算の基本
つるかめ算 2つ以上の異なるものの合計数から、
それぞれがいくつかを求める
解き方・考え方
(2)面積図を使って解く方法
面積図を使って解くこともできる
たて それぞれの足の数 面積 足の数の合計
✓ 横: それぞれの頭の数
解き方・考え方(左例の問題)
(例) つる(足2本)、 かめ(足4本)がいます。 頭の数の合計が14、
足の数の合計が44のとき、 かめは何匹いますか?
①問題文を面積図で整理する
1回変えると合計がどう変わるかを調べる
全部かめから、1羽だけつるに変えると、足の合計は2減る
羽
つる(2本)
14
13
12
?
かめ (4本)
0
1
2
?
2本
足の数の合計
28
30
32
44
+2
+2
+2
44本
かめ
14
4本
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②全部、片方だと仮定する 求めたい対象と逆を仮定すると、
答えが一発で出せる
全部、 つるだと仮定すると、 足の数の合計は2×14=28[本]
14
足の本数
②面積を求めるようにxを使って式を作る
2
つる
かめ
合計
2 2
22 4 4
44
44
-222
22 2 2
22
28
2ずつ増える
①のように足の本数の合計が
③実際の合計になるには何回変えるかを計算する
かめの数は (44-28)+(4-2)=8[匹]
実際とのちがい 1回変えると
2ずつ増える
22
22 16
かめの数
x
14×4
外側の
-
14
(4-2)xx = 44
点線部分の
4
長方形の面積 長方形の面積
x= (56-44) + (4-2)=6[羽] ・・・つるの数
したがって、 かめは14-6 = 8[匹]
47

ページ49:

11.2. 弁償算
● 弁償算は、 成功するともらえ、 失敗するととられるときに、それぞれの数を求める問題
(1) 弁償算の基本
> 弁償算: 成功するともらえ、 失敗するととられるときに
それぞれがいくつかを求める問題
(例) 製品1個につき12円の利益があるが、 その製品をこわして
しまうと、10円損失になります。 300個製品を作る予定も、
何個かこわしてしまったので、利益が3336円でした。
(2) 面積図を使って解く方法
面積図を使って解くこともできるが、 図を書きづらいので注意
▼ たて : 1個あたりの利益 (もらえる場合は上、損失の場合は下)
横 それぞれの個数
:
▼ 面積: 利益の合計
解き方・考え方 (左例の問題)
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製品をこわしてしまった個数は何個ですか?
問題文を面積図で整理する
(日本女子大附属中・改 )
解き方・考え方
1回変えると合計がどう変わるかを調べる
12円
x個
= 3336
売れた個数
300
299
298
?
10円
こわれた個数
0
1
2
?
作った個数
こわした個数
利益の合計
3600 3578 3556
3336
300個
-22
-22
-22
②全部、 片方だと仮定する
全部、 こわさなかったと仮定すると、利益は12×300=3600円
300個
利益
②面積を求めるようにxを使って式を作る
との共通部分のを作って計算式を作ると、
300個
作った製品
こわした製品
12 12
12 12-10-10-10 -10
3336円
-) 12 12
12円
12 12 12 12 ･･･ 12 12
3600円
....
22 22 22 22
264円
x個
1個こわすと、 売れないので、
|10+1222円の利益を失う
③実際の合計になるには何回とりかえるかを計算する
こわした数は、(3600-3336) (10+12) = 12 [個]
実際とのちがい
1個かえると
+) (+)=3336 となるので、
12×300- (10+12)xx = 3336
個
22xx = 3600-3336=264
[個]
x=12[1]
|10円
48

ページ50:

11.3. つるかめ算の応用
● 数値の与え方がひねられている場合には、 1~2回試してみて規則性を確認
● つるかめ算は、 消去算を使って解くこともできる。 頭の数、 足の数でそれぞれで式を作成
(1)差のつるかめ算
2つの合計ではなく、 2つの合計の差が与えられている
問題も、つるかめ算として解くことができる
(例) つる(足2本)、 かめ(足4本)がいます。 頭の数の合計が14
で、 つるの足の数の合計が、 かめの足の数の合計よりも
20本少ないとき、 かめは何匹いますか?
解き方・考え方
1回変えると合計がどう変わるかを調べる
全てがかめだと仮定すると、 足の本数の合計は4×14=56本。
すなわち、つるの合計とかめの合計との差が56本
合計
かめ(4本)
14(56) 13(52) 12(48)
? (4x?)
つる(2本)
0(0)
1(2)
2 (4)
? (2x?)
足の合計の差
56
50
44
20
-6
-6
②仮定と実際の差を1羽ずつ置きかえる
実際との差は、56-20=36本。
つるとかめを1匹 (1羽) ずつ置きかえると、 足の本数は、
42 6本ずつ減るので、つるは366=6[羽]
したがって、 かめは14-68[匹]
(2) 消去算を使って解く方法
つるかめ算は、消去算を使って解くこともできる
(例) つる(足2本)、 かめ(足4本)がいます。 頭の数の合計が14、
足の数の合計が44のとき、 かめは何匹いますか?
(解) つるを1とすると、つるの足の本数は2、
かめを1とすると、かめの足の本数は4となる。
頭の数に着目すると、①+全=142倍
頭の数に着目すると、 ① +△=14 2倍 ②+=28
足の本数に着目すると、②+4=44
したがって、2=44-28 = 16 なので、
かめは1628[匹]
(3) 割合のつるかめ算
割合で与えられるつるかめ算は、 特に消去算が有効
(例) つる(足2本)、 かめ(足4本)がいます。 頭の数の合計が14で、
つるの 1/32 とかめの12の合計4匹 (羽)が外に出てきているとき、
かめは合計何匹いますか?
(解) つるを3とすると、 外に出てたつるは。
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<参考> 線分図で整理してみると、 問題を理解しやすい
56本
かめの合計
かめの足の数の合計
つるの合計
2
つるの足の数足の合計の差分
合計 =20本
かめを4とすると、外に出てたかめは1となるので、
頭の数に着目すると、 3 + 4 = 14
外にいる数に着目すると、 ①+△=4 [3倍 ③金=12
したがって、=2 なので、かめは4=2×4=8 [匹]
49

ページ51:

中学受験新演習 小5算数 上
第12回
差集め算
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12.1. 差集め算
差集め算は、 1個あたりの差と全体の差から個数を求める解き方。 個数 =全体の差 1個あたりの差
(1) 差集め算の基本
> 差集め算 1個あたりの差と全体の差から個数を求める
解き方
個数=全体の差 1個あたりの差
(例) A君は1個50円のチョコレート、 B君は1個20円のガムを
同じ数ずつ買うと、2人が払った代金の差は270円でした。
A君は何円払いましたか?
(解 解き方 問題文を線分図で整理する
【参考】差集めの面積図での解き方
差集め算は、つるかめ算のように面積図で解くこともできる
> たて1個あたりの売り値(円)、 横: 個数(個) で図を書く
(左の例の場合)
青い部分の面積 (全体の差) に
注目すると、
270円
□ = 270 ÷ (50-20)=9[個]
50円
50円
50円
50円
A君
B君
+
+
30円
30円
30円
20円
「20円
20円
差を集める
50円
50円
50円
A君
B君
「20円 20円
at... 120円 大30円 20円 130
270円
270 (50-20)=9[個] ずつ買ったので、
A君が支払った代金は、 50×9=450[円]
30円
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解き方② 問題文を数量図で整理する
A君
50円 50円
...
50円
B君
20円 20円
20円
差
30円 30円
30円
270円
270 (50-20)=9[個] ずつ買ったので、
A君が支払った代金は、50×9=450[円]
・口個
20円
51
552

ページ53:

12.2. 過不足算
●過不足算は、 あまりや不足の条件から全体の差を求めて、 差集め算で解く問題
全体の差の求め方は、 不足・あまり、 不足・不足、 あまりあまりの3パターンがある
(1) 過不足算
過不足算: あまりや不足の条件から全体の差を求めて
から差集め算で解く問題
全体の差の求め方
口不足とあまり全体の差=不足 + あまり
全体量
(例)1箱に3個ずつりんごを入れると12個入りませんでした。
そこで1箱に4個ずつりんごを入れると
最後のりんごが入る箱には2個入り、 箱は7箱余りました。
りんごの個数は何個ですか? (横浜共立中)
(解)1 「不足」 「あまり」を読み取り、 全体の差を出す
線分図の場合
(不足
あまり
3個ずつ
りんご : x個
(あまり
12個
30個
全体の差
4個ずつ
大きい方の 小さい方の
□不足と不足全体の差=不足
不足
不足
4-2
=2個
全体の差
7箱
= 7×4= 28個
全体量
小さい方の
数量図の場合
不足
大きい方の
3個ずつ 3個 3個
3個
12個不足
不足
全体の差
大きい方の
小さい方の
4個ずつ 4個 4個
差 1個 1個
4個
2個+7箱 あまり
1個
42個
あまりとあまり全体の差あまり
あまり
小さい方の
箱の数
全体量
あまり
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大きい方の
あまり
全体の差
②箱の数=全体の差+1個の差
箱の数は、 {12 + (2+7×4)}÷ (4-3)=42[箱]
したがって、りんごの個数は、 3×42 +12 = 138[個]
52
52

ページ54:

12.3. 個数が異なる差集め算
● 差集め算で個数が違う場合、 個数をそろえてから解く
● 個数を逆にした問題では、 全体の合計金額の差から、 逆にした個数の差分を算出
(1) 個数が異なる差集め算
> 個数が違う場合、 個数をそろえたときの全体の差を考える
(例)Aさんが持っているお金で、りんごを買うと8個買えて50円
残り、 みかんを買うと14個買えて10円残ります。
りんご1個の値段がみかん1個の値段よりも40円高いとき、
Aさんがはじめに持っていたお金はいくらですか?
(解) 少ない方の個数をそろえて全体の差を出す
みかんをりんごと同じ8個買ったとすると、 りんごを8個
買ったときと比較して40×8=320円の差がある
(線分図の⑧⑧ = 320[円])
・持っていたお金
(2) 個数を逆にした差集め算
個数を逆にした問題は、 全体の差から差分の個数を算出
(例)1個100円のりんごと1個60円のみかんがたくさん売られてい
ます。 豊子さんが、 りんごとみかんを何個かずつ買うと、
合計金額が1240円となりました。
また、花子さんが、 りんごとみかんの個数を豊子さんと逆にして
買うと、合計金額が1000円となりました。
このとき、 豊子さんが買ったみかんは何個ですか?
(豊島岡女子学園中)
(解) 数量図で整理して、 差を出して同じ部分を消す
豊子さんの方が花子さんよりも多く支払っているので、
豊子さんの方がりんごが多く、 花子さんがみかんが多い
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1個
2個
8個
#
りんご
8
・50円
豊子さん
りりりりり・・・り
1240円
1個 2個
8個 9個
14個
みかん
18
みかん 6個分 10円
花子さん
1000円
320円
全体の差
40円
--)
みみ
差
0円
したがって、個数をりんごにそろえたときの全体の差は、
320+ (50-10)=360[円]
みみ み
40 40... 40
円円 円
d個
240円
②1個の値段=全体の差+個数で算出
みかん1個は、360+6=60[円]
③ 問題文に戻って、 持っていたお金を算出する
Aさんが持っていたお金は、 60×14 + 10 = 850 [円]
② 差分と金額の関係から個数を算出
りんごとみかんの個数の差は (1240-1000)+40=6[個]
したがって、 豊子さん買ったりんごの個数は、
(1240 + 60x6) ÷ (100+60)=10[個]
りんごに個数をりんご1個
合わせる +みかん1個の値段
53

ページ55:

中学受験新演習 小5算数 上
第13回
円とおうぎ形
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ページ56:

13.1. 円とおうぎ形
●円とは、1つの中心からの長さが等しくようにかいたまるい形。 円の中心から円周の点までの線の長さが半径
●おうぎ形とは、円を2つの半径で切り取った形。 奥義形のまわりの曲線の部分 (円周の一部) を孤という
(1) 円の定義
【定義(最初に決めた出発点) 】
(3)おうぎ形の定義
【定義(最初に決めた出発点) 】
孤
円 1つの点から長さが
等しい点の集まり
直径
おうぎ形:円を2つの半径で切り
取った形
半径
中心角
中心
中心
円周 円のまわりのこと
半径
中心角: 2つの半径が作る角
孤:おうぎ形のまわりの曲線部分
半径 : 中心と円周上の1点を結んだ
円周
線の長さ(どれも等しい)
(4) おうぎ形の中心角
直径: 円周上の1点から中心を通って反対側の円周まで
ひいた長さ
180° 1
120° 1
90°
1
=
360°
2
円周角
360° 3
360°
4
中心角: 円周上の2点と円の中心
を結んでできる円の中心
にある角
中心
半円
120°
四分円
円周角: 円周上の2点と、円周上
中心角
のもう1点を結んだ線分の
なす角
60°
1
45°
1
30° 1
=
360°
6
360° 8
(2)円の性質
360° 12
直径 半径×2
直径は、円の中に引いた直線の中で最も長い
△60°
45°
30°
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13.2. 円の角度
●円の角度を求めるとき、 円の中心から円周に向けて補助線を引くと、 全て同じ長さ (=半径)
● 円周上の点と直径を結んでできる三角形は、 直角三角形になる
(1) 円と角度
(2) 円周角の定理
円の中心から円周上の点までの
長さ (半径) がみな等しいため、
二等辺三角形になる
角の大きさが
等しい
円周上の点と直径を結んでできる
三角形は、 直角三角形になる
中心
【成り立つ理由】
B
中心OKAを結んで二等辺三角形を作る
三角形OAB、 三角形OACは
(例) 右の図でAB=BOのとき
は何度?
(解) AとBは円周上の点なので、
どちらも二等辺三角形になり、
x
50%
C
B
●同士、 ○同士の角の大きさは等しい
三角形ABCの内角の和は180°より、
+ ● + ○ + ○ = 180°
したがって、 角Aは ● + ○ = 90°
(円周角の定理)
AO=BO = 半径
すると、 三角形ABOは正三角形 B,
となるので、 角BAO=60°
600x
C
50%
AO=CO=半径 なので、
三角形OACも二等辺三角形で、
角OAC = 50°
半径
したがって、 x=60° + 50° = 110°
円周角の大きさ
=中心角の大きさ+2
【成り立つ理由】
上と同じ。 180°を中心角と読み替える
#
中心
#
円周角
中心
魚
C
56

ページ58:

=半径×2×円周率
問題文で指定
3.14 以外にも、 3.1や
円周率: どんな円の大きさでも同じ
22
(中学では) 3.14159265・・・
などが使われることも
(2)おうぎ形の孤の長さ
【公式】
円周角
おうぎ形の孤の長さ=円周の長さ×
直径×円周率×
=半径×2×円周率×
360°
中心角
360°
中心角
360°
13.3.円・おうぎ形のまわりの長さ
● 円周の長さは直径に比例し、円周の長さ+直径の長さを円周率といい、 約3.14になる
●おうぎ形のまわり (孤) の長さは、円周の長さ×円に対するおうぎ形の割合(例:半円
(1)円のまわりの長さ
【公式】
円のまわり(円周)の長さ=直径×円周率
【定義】
(3) まわりの長さを求める問題
おうぎ形の場合、 直線部分も加えることに注意
(例)外側の四角形が一辺4cmの正方形のとき、
影色がついた部分のまわりの長さは?
(解)曲線の部分は、直径4cm
の円周の長さ
(半円×2=円丸々一つ分)
なので、
4×3.14×2/3×2
x2=12.56
4cm
影色がついた部分のまわりの長さは、
1
(
含まない!
それに加えて、上底･下底の長さとなるので、
12.56 + 4 + 4 = 20.56[cm]
含む!
左右の辺は「影色がついた部分」ではないため、
まわりの長さにたさないことに注意
【ご参考】 3.14のかけ算 覚えると計算が早くなる!
3.14×1= 3.14
3.14×6= 18.84
3.14×2 = 6.28
3.14×7= 21.98
3.14×3 = 9.42
3.14×4=12.56
3.14×5=15.70
3.14×8 = 25.12
3.14×9= 28.26
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40

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13.4. 円・おうぎ形の面積
●円の面積は、半径×半径×円周率。 おうぎ形の面積は、円の面積に中心角の割合をかける
●3.14のかけ算が頻発するが、計算せずに最後まで残しておき、最後に分配法則でまとめて計算
(1)円の面積
(2) おうぎ形の面積
【公式】
【公式】
円の面積= 半径×半径×円周率
中心角
おうぎ形の面積=半径×半径×円周率×
360°
半径
中心
半径
中心角
半径
【公式が成り立つ理由】
(例) 色がついた部分の面積は?
円を、 できるだけ細かく等分して、交互にならびかえてみると、
たてが半径、 横が円周の半分の長さの長方形に近づく
90
(解) 四分円 4×4×3.14×
= 4×3.14
1360
180
4cm
2×2×3.14× = 2×3.14
360
半径
WW
| Point 3.14のかけ算は残して最後にやる
したがって、
円周の半分
したがって、円の面積=半径×円周の半分
半径
=半径×(直径×円周率×2)
=
: 半径×半径×円周率
4×3.14-2×3.14
=(4-2)×3.14
= 2×3.14
= 6.28[cm²]
は、
Point 分配法則でまとめる
ax3.14 + b×3.14 = (a+b)×3.14
ax3.14-b×3.14=(a-b)×3.14
58

ページ60:

13.5. 円の面積の応用
●おうぎ形の複合図形の面積を求める場合、 円と三角形や四角形に分割して、 たしたり・ひいたりする
● 同じ部分(合同) を見つけて等積移動することで、 求める面積をシンプルな形にして解く
(1) 複合図形 (ラグビーボール型)の面積
円周の一部に囲まれた面積の場合、 その円をイメージして、
含まれていない三角形をひくような補助線を考える
(例) 1辺4cmの正方形の中に、
頂点を中心とした四分円を
2つかきました。 青色が
青色の面積は、
ついた部分の面積は?
4cm
(解)対角線に補助線を引くと
半径4cmの四分円 直角二等辺三角形
となるので、
1
4×4×3.14× 4×
A
=4×(3.14-2)
(2)等積移動の活用
同じ形(合同) の部分を見つけて、 等積移動することで、
求める面積をシンプルな形にする
対称(左右上下) を見つけると等積移動しやすい
(例) 1辺4cmの正方形の中に、
頂点を中心とした四分円と、
1辺を直径とする半円を
2つかきました。
青色がついた部分の面積は?
4cm
|緑=赤
=4.56[cm2]
したがって、影色の面積は、
青色の面積の2つ分なので、
4.56×2=9.12[cm]
(解) 対角線に補助線をひくと、
真ん中のラグビーボールの
部分が2つに分かれて、
それぞれ、大きい四分円の一部と
同じ形となり、移動できる
青色の面積は、
半径4cmの四分円 直角二等辺三角形
となるので、
4×4×3.14×14×4×22
=4×(3.14-2)
=4.56[cm2]
左と右が対称なので合同
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ページ61:

13.6. 移動領域の面積
● ひもにつながれたものが動くことができる領域は、 つながれた場所を中心に、 ひもの長さを半径とした円の内側
● ひもが余ったら、 余った長さを半径とした円の範囲も移動可能
(1) ひもでつながれたものの移動領域
ひもにつながれたものが動く範囲は、 つながれた場所を
(例) 図のような建物のかどに、
中心に、 ひもの長さを半径とした円の内側になる
半径
半径
(中心
移動
領域
円は、1つの点から長さが
等しい点の集まり
・ひもをピンと伸ばすと、
長さ9mのロープで犬がつながれ
ています。 この犬の動ける範囲の
面積は何mですか。
5m
9m
8m
円周率は3.14とします。 (武蔵中学)
(解) 犬の動ける範囲は、
ひもの長さが半径の円となる
① 点Dを中心とした半径9mの
中心角270°のおうぎ形
19m
② 点Aのところで、 9-8=1m
余っているので、
A
「1m
点Aを中心とした半径1mの5m
中心角は90°のおうぎ形
-8m
B
途中で折れる時は、 折れた点を中心にして、残りのひもの
長さを半径としたおうぎ形の内側になる
点Cのところで、 9-45m
14m
余っているので、
点Bを中心とした半径4m、 中心角は90°のおうぎ形
の3つのおうぎ形の面積の合計になるので
270
90
90
9×9×3.14× +1x1x3.14x; + 4×4×3.14×
360
360
360
= (81×3 + 1 + 16)×3.14×-
=204.1[cm²]
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60
60

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中学受験新演習 小5算数 上
第14回
いろいろな面積の求め方
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ページ63:

14.1. 面積
2025/6/29改定
● 面積とは、図形の広さを表す量。 1辺1mの正方形の面積を1m²(1平方メートル)と定義
● 1辺10mの正方形の面積1a (アール) 1辺100mの正方形の面積1ha (ヘクタール)、
1辺1kmの正方形の面積は1km²と言い、 面積が100倍になる (2桁増える)ごとに単位が存在
(1) 面積の定義
> 面積: 図形の広さを表す量
【定義】 1辺1mの正方形の面積を
(2) 面積の単位
面積を表す単位は2桁ずつ (100倍ごと)
1辺の長さ 面積の単位
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読み方
1m²(1平方メートル) とする
長さを
10倍
面積
1m
1m²
1mm
1mm²
平方ミリメートル
面積は
100倍
1cm
1cm²
平方センチメートル
10cm
(なし)
1m
1m²
平方メートル
10m
1a
アール
正方形の長さが10倍になると、
正方形の面積は、10×10=100倍になる
100m
1ha
ヘクタール
1km
1km²
平方キロメートル
倍
1000000
1000000倍
1
10000
km² ha
a
(ヘクタール) (アール)
m²
cm²mm²
62
62

ページ64:

14.2. 正方形と長方形の面積
● 正方形の面積は、1辺の長さ×1辺の長さで求められる
● 長方形の面積は、たての長さ×よこの長さで求められる
(1) 正方形の面積
2025/6/29改定
(2) 長方形の面積
【公式】
【公式】
正方形の面積=1辺の長さ×1辺の長さ
長方形の面積=たての長さ×よこの長さ
よこ
横
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1辺の
長さ
たて
縦
【公式が成り立つ理由】
> 対角線を使って、 正方形の面積を求めることができる
正方形の面積= 対角線の長さ×対角線の長さ 2
長方形の中に一辺1cmの正方形が
何個入っているか?を考える
1cm
1cm
たて
◆正方形
辺
右図の長方形の場合、 たて3cm、 3個
横5cmなので、 一辺1cmの正方形が、
たてに3個、 横に5個ずつならぶため、
3×5=15[個]
入ることになる。 したがって、
対角線
対角線
となる
1[cm2]×15 = 15[cm²]
横5個
63

ページ65:

14.3. 三角形の面積
● 三角形の面積は、 底辺×高さ2。 底辺と高さは必ず垂直
2025/10/4改定
●複雑な図形の面積を求める場合は、 補助線を引いて考える。 辺に対して垂直に補助線を引くのがポイント
(1) 三角形の面積
(2) 三角形の面積の応用 (高さの出し方)
【公式(定義からわかること) 1
補助線を引いて面積を求める
三角形の面積=底辺x高さ2
(例) 右図の四角形の面積は?
7cm
(答)
高さ
高さ
底辺
高さ
対角線を引いて、 2つの三角形の面積
8cml
の合計を求めると、
ア: 5×8 + 2 = 20[cm²]
底辺
ア
底辺
イ: 2×7+2=7[cm2]
12cm
20 + 7 = 27[cm]
底辺と高さは必ず垂直
5cm
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▼底辺は三角形の辺ならどれでも良い
75°75°や15° 15°の二等辺三角形のように、
30°が作れそうなときは、 辺に対して垂直に補助線を引く
どの辺を底辺にするか、 色んな見方を試す!
(例) 右図の二等辺三角形の面積は?
(例)
4cm
三角形の面積は何cm²ですか?
3cm
4cm
(答)
辺を伸ばしてもう一つの頂点から B
垂直になるように補助線を引くと、
300 三角
定規
C
(答)
外角より、 角HAC = 15° + 15°=30°
底辺が3cm、高さが4cmなので、
3×4+2=6[cm]
5cm
角AHC=180° 90°-30°=60°になるので、
三角形AHCは三角定規の形で、 HC = AC + 2 = 4÷2=2[cm]
したがって、三角形ABC = 4×2+2=4[cm²]
(例)
三角形の面積は何cm²ですか?
(答)
(例) 右図の二等辺三角形の面積は?
2.4cm
(答) 底辺に対して垂直になるように
75°
#
底辺が5cm、高さが2.4cmなので、
5×2.4 + 2 = 6[cm²]
補助線を引くと、 高さが2cm
三角
定規
5cm
4×2 + 2 = 4[cm]
30°
14cm
64

ページ66:

14.4. 四角形の面積
● 平行四辺形の面積は底辺×高さ。 正方形・長方形の面積はたて×横
● 台形の面積は (上底+下底) ×高さ 2
●ひし形・正方形など、 対角線同士が直角に交わる四角形の面積は対角線×対角線+2でも利用可能
(1)四角形の面積
対象
平行四辺形
(ひし形 長方形 正方形)
台形
ひし形、 たこ形
パターン
辺の長さを使う
2つくっつけて計算して、
後から2でわる
(正方形)
対角線を使う
底辺x高さ
(上底+下底)×高さ2
上底
対角線x対角線+2
下底
高さ
高さ
対角線
同じ面積
OF
4474
公式
【理由】
底辺
下底
上底
【理由】
対角線
【理由】
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底辺に垂直に線を引いて、
できた三角形を右に移すと、
横が「底辺」 たてが「高さ」の
長方形になる
上下をひっくり返して横につけると、
底辺が「上底+下底」の平行四辺形
になる。
平行四辺形の面積を2でわると、
元の台形の面積が求められる
対角線の長さに合わせて、 長方形を
作ると、 元の四角形の面積は、
できた長方形の面積を2でわった値
65

ページ67:

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14.5. 長方形を組み合わせた図形の面積
● 長方形を組み合わせた図形は、いくつかの長方形に分けて、 それぞれ面積を求める
2025/6/29追加
(1) 長方形を組み合わせた図形の面積
長方形を組み合わせた図形の面積を求めるときには、
いくつかの長方形に分けて、それぞれの面積を求めて、
あとからたす。 重なっている部分はひく
(例) 右の図形の面積は何cm²ですか?
ただし、 かどはすべて直角です。
6cm
5cm
(2) 等しい面積の2つに図形を分ける問題
同じ面積になるように直線で分割する問題は、 どちらかの
図形に着目して、 分からない長さをxにして面積を求める
求めやすくなるように補助線を引いて、いくつかの長方形
に分ける。 xが2回以上出てこないように分割すること
(例) 右の長方形の土地を、 同じ
面積になるように折れ線で
2つに分割しました。
6m
xは何mですか?
(解) 長方形の面積は、
6×10=60[m²]
なので、青色の図形の面積は
半分の30m²
10m
8m
x
xを使って面積の計算をすると、
|8cm
|8cm
6cm
3cm
3cm
8cm
(解) 右図のように分けると
6cm
青: 6×8=48[cm2]
緑: 6×8=48[cm²]
赤: (8-5)×(6-3)
= 9[cm²]
6-3=3cm-
6cm
となるので、
8-5=3cm
8cm
図形の面積は、
青+緑 - 赤 = 48 +48-9 = 87[cm2]
(10-8)×6 + (8-3)xx = 30
x = (30-2×6)+5= 3.6[m]
3m
長さや面積の問題で、 わり算が出てきた時は
割り切るか、 分数で答えて、 「あまり」を使わない
66

ページ68:

14.6. 複雑な図形の面積
● 底辺や高さが分からない三角形の面積を求める場合、 外側の図形から引いたり、 となりの図形を加えたりする
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2026/7/26
(1) 複雑な図形の面積
底辺や高さが分からない三角形の面積を求める場合、
外側の図形から引いたり、 となりの図形を加えたりする
(例)
-4cm
右図で三角形の面積は何cm²ですか?
ア
(答)
|5cm
全体の長方形からア、イ、ウの3つの
三角形をひく
2cm
イ
長方形=5×6= = 30[cm²]
ア=4×(5-2)+2 = 6[cm]
.6cm
イ=2×6 + 2 = 6[cm]、ウ=(6-4)×5 + 2 = 5[cm2] より、
求める三角形の面積は、30-6-6-5=13[cm2]
(例)
右図で三角形アと四角形の面積が
8cm
等しいとき、 □は何cmですか?
ア
(答)
6cm
ウ
アとイの面積が等しいので、それぞれに
ウを加えた図形の面積も同じ
イ
ア+ウ=ウ+イ
2cm
ア+ウの面積は、
□cm
8×6 + 2 = 24[cm²]
イ+ウの面積を、口を使って式にすると
(6 + 2)×□ + 2 = 24
□=24×2 + (6 + 2) = 6[cm]
67

ページ69:

中学受験新演習 小5算数 上
第16回
水よう液の濃さ
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ページ70:

16.1. 濃さ
●食塩水の濃さとは、食塩水全体の重さをもとにしたときの、溶けている食塩の重さの割合で、 百分率で表す
● 食塩水に水を加えると濃度は小さく (うすく) なり、 食塩を加えたり蒸発させると濃度は大きく (濃く) なる
(1) 濃度 (濃さ)
(2) 食塩水に水を加えるとき
のうど
食塩水の濃度: 食塩水全体の重さをもとにしたときの、
食塩水に水を加える
(濃さ)溶けている食塩の重さの割合
通常、百分率 (%) で表す
> 約26%以下になる 飽和状態)
100%だと食塩(水は無し)の状態
分母は「食塩水」であり「水」ではないので注意!
【定義】 食塩水の濃度 (濃さ)
濃さ: 0%
分子:食塩の重さは変わらない
分母: 食塩水の重さは増える
濃度はうすくなる (小さくなる)
□%
うすくなる
食塩水は
増える
△%
水
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食塩の重さ
食塩の重さ
食塩は変わらない
濃度(濃さ)
=
食塩水の重さ食塩の重さ+水の重さ
(3) 食塩水を蒸発させるとき
濃度(濃さ)はたし算・ひき算できない
食塩水を蒸発させる
Point
2%+3%=5%
必ず、食塩か食塩水の量 (重さ)を
たしたり・ひいたりすること!
分子:食塩の重さは変わらない
分母 : 食塩水の重さは減る
濃度は濃くなる (大きくなる)
濃くなる
□%
△%
食塩水は
減る
水
食塩は変わらない
69

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16.2. 食塩水の混合
●濃さの異なる食塩水を混ぜる場合は、食塩や食塩水の量を計算して濃度の公式に当てはめる
●食塩や食塩水の量が2つ以上求められない場合、 平均の面積図を使って、 混ぜた後の濃さを算出
(1)ビーカー図で解く場合
(例)10%の食塩水100gと、4%の食塩水200gを混ぜると、
何%の食塩水になりますか?
解き方・考え方
①わからない数字を口やxにして図をかく
食塩水の重さは
たし算できる
(2) 面積図で解く場合
食塩や食塩水の重さが分からない場合は、 面積図を使う
> たて:濃度[%]、 横: 食塩水の量[g]、 面積: 食塩の量[g]
解き方・考え方 (左と同じ問題)
①わからない数字を口やxにして面積図をかく
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(濃度) 10%
4%
□%
300g
+
→>
200g
(食塩水) 100g
ウ
10%
イ
☐%
|4%
②食塩水・食塩の量を計算する
濃度はたし算できない!
100g
200g
(濃度) 10%
4%
☐%
+
300g
200g
(食塩水) 100g
②同じ面積な部分を見つけて、=でつなげる
アウ
=100×(0.1-0.04)=6
(食塩) /10g
8g
18g
ウィ = (100+200)x (□-0.04)
100×0.1=10[g] 200×0.048[g]
③濃度の公式に当てはめて口を求める
10+8=18[g]
食塩もたし算ができる
(濃度)=
18
☐
300 100
1
⇒□=18×== 6[%]
アウ = ウイ より、
(100+200)×(□-0.04) = 6
□ = 6÷300 + 0.04
= 0.06=6%
70

ページ72:

16.3. てんびん算
● てんびん算とは、理科の「てこのつり合い」の原理を応用し、 面積図の代わりに見やすく解く方法
●濃さの異なる食塩水を混ぜる問題は、 てんびん算を使って解くことができる
(1) てんびん算とは
> てんびん算: 理科のてこのつり合いの原理を応用し、
面積図の代わりに見やすく解く方法
a
b
逆比
a
α (重さ)xb (支点からの距離) を左右で比較
b
おもりが左右で1つずつの場合、距離と重さは逆比になる
【参考】てこのつり合い (理科)
(2)濃度の問題への適用
おもり 食塩水の重さ、 長さ: 濃度の差として、
てんびん算で解くこともできる
(例)10%の食塩水100gと、4%の食塩水200gを混ぜると、
何%の食塩水になりますか?
解き方・考え方
①わからない数字を口やxにして、 てんびん図をかく
4%
□%
10%
?
|100g
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Point うすい食塩水を左、濃い食塩水を右に書く
②-1 左側と右側のはたらきの大きさを出して、=でつなげる
22 □が複数出てくる場合は、) 逆比を使う
【定義】
200g
棒を回そうとする
はたらきの大きさ
(モーメント)
=
おもりの重さ
[g]
×
|支点からの距離
[cm]
左側(左回り) 右側(右回り)のはたらきの大きさ
(モーメント)の合計が同じときに、 棒はつり合う
左回り: 10×6=60
右回り: 4×15 = 60
支点からの距離
6cm-
14cm
10g
15g
おもりの重さ
この場合は、2-2の逆比を使うと100:200 = 1:2となるので、
6%
4%
□%
10%
1
2
1
4% + (10% -4%)×
_ = 6%
2+1
71

ページ73:

16.4. 食塩水の濃さの応用
●2つの食塩水を混ぜる問題で食塩の重さが求まらない場合は、 面積図かてんびん算を使う
●3つ以上の食塩水の混合は、 1 全部を同時に混ぜるか、②2つの食塩水を混ぜてからもう1つを混ぜる
(1) 解き方の使い分け
2つの食塩水を混ぜる問題で食塩の重さが求まらない
場合は、面積図かてんびん算を使う
(例)10%の食塩水100gと、 4%の食塩水を□g混ぜると、
7%の食塩水になりました。□はいくつですか?
(濃度) 10%
4%
7%
(食塩水)
→>
100g
+
☐ g
100+□g
(食塩) /10g
??g
2か所、食塩の重さが求まらない
??
(2) 特殊なパターンの混合
(3) 3つ以上の食塩水の混合
3つ以上の食塩水を混ぜる場合、 次のやり方を試す
①全部を同時に、 ビーカー図を使って解く
A[g]
B[g]
c[g]
A+B+C[g]
+
+
→>
a[g]
b[g]
cig
_a+b+c[g]
②1では解けない場合、 2つの食塩水を選んで混ぜてから
もう1つの食塩水を混ぜる
A[g]
a[g]
B[g]
A + B[g]
+
b[g]
a+b[g]
面積図かてんびん算を使う!
+
ビーカー図、 面積図か
てんびん算を使い分ける
c[g]
A+B+C[g]
→>
[g]
a+b+c[g]
> 食塩10gを加える場合
→濃度100%、重さ10gの食塩水を加える
(例) 3%の食塩水200g、 6%の食塩水100g、 8% の食塩水
□gを混ぜると、5%の食塩水になります (世田谷学園中)
(濃度) 10%
100%
☐%
+
←
(食塩水)
90g
10g
100g
6%
100g
(解) ビーカー図をかくと、1ではできないことがわかるので、2で解く
3%
200g
8%
☐ g
5%
300+口[g]
(食塩) 9g
/10g
/19q
+
←
6q
16g
???q
食塩水を熱して10g煮詰めた場合
↑
食塩水の重さを10g減らし、 食塩は減らさない
(濃度) 10%
0%
□%
(i) ビーカー図 (ii) てんびん算
4%
4% 5%
??g
□=300×1÷3=100[g]
8%
→>
300g
(食塩水)
90g
10g
80g
3
/12g
[300g]
□g
(食塩)
9g
0q
9g
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中学受験新演習 小5算数 上
第17回
角柱と円柱
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ページ75:

17.1. 角柱・円柱
●角柱とは、向かい合う2つの面が平行で、 合同な多角形の立体。 立方体・直方体は四角柱の特別な場合
● 円柱とは、 平行で大きさが等しい2つの円と曲面に囲まれた立体
(1)角柱
【定義】
> 角柱: 向かい合う2つの面が平行かつ合同な多角形の
立体
> 三角柱 底面が三角形の角柱
> N角柱の性質
✓ 面の数: N + 2 (底面 2面 + 側面N面)
✓ 辺の数: N×3
(上と下の底面にN本ずつ、 底面をつなぐ辺がN本)
✓ 頂点:Nx2(上と下の底面にN個ずつ)
底面
> 四角柱: 底面が四角形の角柱で、 立方体・直方体は、
四角柱の特別な場合
三角柱
四角柱
(2)円柱
高さ
底面
側面
底面
側面
【定義】
円柱: 平行で大きさが等しい2つの円と曲面で
囲まれた立体
底面
高さ
底面
底面角柱の向かい合う平行かつ合同な多角形の面
✓ 必ずしも床と接している部分が底面ではない!
向かい合う面が平行でなければ底面ではない!
そくめん
側面: 角柱の底面以外の、 底面に垂直な面
✓ N角柱の場合、側面はN-2面存在
高さ
高さ
底面: 円柱の2つの円の面
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17.2.角柱・円柱の体積
●体積とは、立体の大きさを表す量。 1辺1mの立方体の面積を1m²(1立方メートル)と定義
● 角柱・円柱の体積は表面積×高さ。 特に円柱の体積は、 半径×半径×3.14×高さ
(1)体積
【定義】 1辺1mの立方体の体積を
1m²(1立方メートル) とする
(3) 角柱・円柱を組み合わせた立体
(例) 1辺の長さが6cmの立方体があります。 図のように正面と上
からそれぞれその面の反対側までまっすぐくり抜きました。
残った部分の立体の体積を求めなさい。
1 'm
体積
1m3
-1'm
1 m-
(2) 角柱・円柱の体積
【公式】
角柱・円柱の体積=底面積×高さ
底面積
底面
高さ
高さ
特に、円柱の体積=半径×半径×3.14×高さ
ただし、円周率は3.14とします。 (鷗友学園中・改題)
正面から見た図
上から見た図
小さい正方形の
円の半径は1cm
1辺の長さは2cm
(解) くり抜いた立体の体積は、
四角柱+円柱一紫色の円柱
= 2×2×6 + 1×1×3.14×6-1×1×3.14×2
= 36.56[cm³]
したがって、 残った部分の立体の体積は、
立方体 くり抜いた立体の体積となるので、
6×6×6-36.56=179.44[cm]
75

ページ77:

17.3. 角柱・円柱の表面積
> 角柱・円柱を展開すると、 側面全体が1つの長方形になる。 側面積は底面のまわりの長さ×高さ
表面積は立体の表面全体の面積のことで、 底面積×2 + 側面積
(1)展開図
角柱・円柱を展開すると、 側面全体が1つの長方形になる
<三角柱>
見取り図
展開図
(2) 表面積
側面積: 立体のある1つの面の面積のこと
表面積: 立体の表面全体の面積のこと
展開図をかいたときの面積の合計
【公式】
展
開
角柱・円柱の側面積=底面のまわりの長さ×高さ
角柱・円柱の表面積=底面積×2 + 側面積
<三角柱>
<円柱>
底面積
底面積
<円柱>
高さ
側面積
高さ
側面積
見取り図
展開図
底面の
まわりの長さ
底面の
まわりの長さ
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展
開
【公式】 特に円柱の場合、
円柱の側面積=底面のまわりの長さ×高さ
=底面の直径×3.14×高さ
円柱の表面積=底面積×2+側面積
= 半径×半径×3.14×2
+ 直径×3.14×高さ
(半径 + 高さ)×直径×3.14
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中学受験新演習 小5算数 上
第18回
水量の変化とグラフ
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ページ79:

18.1. 水量と深さ
●1L=1000cm3で一辺10cmの立方体の容量
● 水の体積=底面積×深さ
(1) 水のかさの単位と体積の単位
1L=1000cmで一辺10cmの立方体の容量
1mL=1cm3
(2) 水量と深さ
角柱や円柱の形の容器に水を入れるとき、
水の体積=底面積×深さ
水のかさ
1mL
(例) 右のような容器に、水が
1dL
1L
1kL
12cm
立方体の
体積
25cmまで入っているとき、
水の体積は?
F
A
1cm3
100cm3
1000cm3
1m3
(解) 30×10×15
水が入っている
深さまで
25cm
立方体の
1cm
10cm
1m
1辺の長さ
+12×10×(25-15)
D
25cm
E
15cm
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1000倍
1000倍
5700[cm]
> 底面を変える問題の場合、
~10cm
30cm
C
=
水の深さ 水の体積 底面積を活用
÷
かさの単位
KL
LdL
mL
(リットル)
(例) 先ほどの水が入った容器を
+
六角形ABCDEFを底面にすると、
体積の単位
m3
1000cm²
cm3
水の深さは何cmか?
(立方メートル)
立方体の
(解) 六角形ABCDEFの面積は、
1m
10cm
1辺の長さ
1cm
25×12 + 15×30=750[cm]
となるので、
底面にしたときの水の深さ
F
D
E
=水の体積 底面積なので、
?cm
5700 +750 = 7.6[cm]
B
C
78

ページ80:

18.2. 水量の変化
●容器に入る水の量は、毎分入れる量[L]×入れた時間[分]
●直方体を組み合わせた容器の場合、 下の部分と上の部分に分けてていねいに考える
(1) 一定の速度で水を入れる場合
容器に入る水の量は、毎分入れる量×入れた時間
✓毎分入れる量 [L]、[d][cm]で表す
▼入れた時間: [分] [秒]で表す
(例) 縦15cm 横10cm、 高さ12cmの直方体の容器に、
①毎分9dLの水を入れると5分後の水の量は何?
9dL = 0.9Lなので、
0.9×5 = 4.5L
(2) 直方体を組み合わせた容器
直方体を組み合わせた容器の場合、 下の部分と上の部分
に分けて考える
(例) 右の容器に、毎分9dL
ずつ水を入れます。
12cm
6分後の水の深さは?
25cm
B
15cm
(解)
水の量は、容器の大きさや
長さとは関係ない!
1 水の量を求める
6分後の水の量は、
②毎分9dLの水を入れると5分後の水に深さは何cm?
→9dL= :900cmなので、
900÷ (15×10)
5900
15×10
単位をcm²に合わせる
6[cm]
9dL=900cmなので、
900×6=5400[cm"]
110cm
30cm
容器の底面積
高さは関係ない!
かけ算・わり算の計算は、分数にして最後にやると
計算ミスが少なくなる
③毎分9dLの水を入れると、 この容器に水がいっぱいになるのは、
水を入れ始めてから何分後?
9dL=900cm なので、
(15×10×12)900[cm²/分] =
直方体の容器の体積
15×10×12
900
=2[分後]
②Aの部分でいっぱいになるかを確かめる
A の部分の容量は、30×10×15=4500cm3] なので、
水の量の方が大きい
の部分はいっぱいになり、 5400-4500=900[cm]
あまる
の部分で水の深さを求めて、 の高さとたす
B の部分の深さは、900÷ (12×10)=7.5 [cm] なので、
容器全体の水の深さは、 15 +7.5=22.5[cm]
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18.3. 時間と水の深さを表すグラフ
●底面積が一定の容器に水を入れる場合、 給水量が大きくなると、水の深さのグラフのかたむきが急になる
●給水量が一定の場合、 容器の底面積が小さくなると、 水の深さのグラフのかたむきが急になる
(3)容器の底面積が変わる場合
(1) 水の入れる量が一定の場合
底面積が一定の容器に、 毎分同じ量の水を入れる場合、
水の量は時間に比例 水の深さ
給水量が一定の場合、 容器の底面積が小さくなると、
水の深さのグラフのかたむきが急になる
y[cm]
比例するので
の箇所を見ると、
25
グラフは直線
水の深さ
1分間に水の深さが
20
3cmと分かる
x
15
目盛がないときは
10
目盛がある箇所を見る
5m
底面積
時間
の箇所を見ると、
0
30cm
5分のとき15cmなので、
時間
4
5
6 [分]
1分間に入る水の深さは 15[cm] 5[分] = 3[cm]
(2) 水の入れる量が変わる場合
底面積が一定の容器に水を入れる場合、 水の入れる量
(給水量) が大きくなると、グラフのかたむきが急になる
給水
(例) 右図のような直方体を
組み合わせた形の容器に
毎分同じ量の水を入れます。
15cm
水を入れ始めてからの
大
10cm
時間と水の深さの関係は
右下のグラフのように
なりました。
□cm
10cm
①口は何cm?
12cm
水の深さ
水の深さ
グラフの直線のかたむきが
y[cm]
排水
しているとき
給水量
変わったタイミング(●の点)
なので、25cm
40
35
[大
30
25
②毎分何Lの水を入れましたか?
5分で25cm入ったので、
201
小
15
底面積の一定
水の
10
12×10×25+5=600[cm]
5
深さ
時間
排水
小の底面積
= 0.6[L]
0
時間
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x[分]
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80
80

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18.4. 水量とグラフの応用
●仕切りがある場合、 仕切りの高さまで水がたまった後、 仕切りの反対側に水が入り始める
●直方体の形の容器を一辺を固定してかたむける場合、 手前の面を底面積とした角柱として考える
(1) 仕切りがある場合
仕切りがある場合、 仕切りの高さまで水がたまった後、
仕切りの反対側に水が入り始める
そのとき、水の深さは変わらない
水の深さ
C. 仕切りの上部
(2) 容器をかたむける場合
直方体の形の容器を一辺を固定してかたむける場合、
水は、手前の面を底面積とした角柱のようになる
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(こぼれなければ) 水の体積は同じ
B: 仕切りの反対側
A: 仕切りの手前側
0
時間
(正面から見ると)
A
B
A
台形
面積は同じ
台形の高さも同じ長さ
A
81

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中学受験新演習 小5算数 上
第19回
場合の数(1)-ならべ方
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19.1. 樹形図を使った調べ方
●樹形図とは、 あるものをもれなく、 重複することなくかいた図。順番を守ってかくことがポイント
● 順列とは、いくつかのものを順序をつけて一列に並べるとき、 その並びのこと
(1) 樹形図
(2) 順列 (ならべ方)を使う例
じゅけいず
樹形図あるものをもれなく、 重複することなくかいた図
樹形図をかくときの注意点
ならべ方(順列) の例
•
数字のカードを使って整数を作るとき
▼ 小さい順 大きい順などのように順番を守ってかく
•
大小・白黒のように、違ったさいころをふるとき
•
人が前(左)から順番にならぶとき
(例)0、1、2、3の4枚のカードのうち、3枚をならべて、
3けたの整数を作ると、全部で何通りできますか?
①順番を決める
もっとも小さい整数からならべ始める
②条件に合うものを順番に書き出す
百の位が0のとき、 整数にならないのでNG
▼ 百の位が1のときを調べる
じゃんけんをするとき
(3) 同じものが複数ある場合のならべ方
(例) 白と黒のご石がそれぞれたくさんあります。
白・黒合計3個をならべるとき、 全部で何通りありますか?
(解) ○ (白) ● (黒) の順番で樹形図をかく
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1番左がοだと、4通り
2番目・3番目のならび方
は、先頭οの場合と同じ
1番左が●も4通り
2 合計
6+6+6
18通り
合計 4+4=8通り
(別解)重複順列となるので、 2×2×2=8通り
2
･･･ 102
0
3
103
0
･･･ 120
1
2
·123
6通り
3
0
130
3
2
・132
1以外の数
使っていない
をならべる
数をならべる
百の位が2のとき、3のときを調べる
0
2
1
3
6通り
130301
0
3
1
2
120201
6通り
83

ページ85:

19.2. 和の法則
● 和の法則は、Aの起こり方が通り、Bの起こり方が通りならば、 どちらかが起こる場合の数は、 p+q通り
●道順の場合の数は、 和の法則を応用することで求めることができる
(1) 和の法則
【法則】
AとBが同時に起こることがないとき、
Aの起こり方が通り、Bの起こり方がq通りならば、
AとBのどちらかが起こる場合の数は p+q通り
(2) 最短経路の問題
(例) 右図のような格子状の道が
あり、スタートからA地点を通って
ゴールに向かう時、まわり道を
しないで最も短い道のりで
行く道順は何通り
ありますか?
ゴール
A.
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|2026/7/26
和の法則が使えるときの例 (Aの場合+Bの場合)
スタート
(解) 和の法則を使う方法
▼AかBが起きるとき
▼ AまたはBが起きるとき
√Aだと口通り、Bだと△通りあって、両方から選ぶとき
(例) 大小2個のサイコロを同時に投げるとき、 目の和が
5以下の奇数になる場合は何通りありますか?
スタートから1通りしか行けない地点に「1」を書く
スタートの右どなりのB地点への
最短経路での行き方は1通り。
その右どなりの地点への
(解) 目の和が5以下の奇数になるのは、 その和が3か5になるとき
(A) 目の和が3になる場合、
(大, 小) (1,2), (21) の2通り
(B) 目の和が5になる場合、
'
(大, 小) = (1,4) (2,3) (3,2), 4, 1)の
4通り
したがって、全部で、 2 + 4 = 6通り
ゴール
A
| 最短経路ではない!
最短経路での行き方も
B地点から進むしかないので
1
B
C
スタート
1
②2方向以上から行ける地点は、 和の法則を使ってたす
P地点に行くのは、下から1通り、
左から1通りなので、 1+1=2通り
ゴール
61
12
18
3
6
同様にたしていくとAまでは6通り 1
③途中から再開するときは、
1+1
A
6
6
=2
3
1
その地点までの数を持ち越す
Aから1通りで進める地点は
全て6からスタート
さらにゴールまで進める18通り
P
A地点までの
数を持ち越し
スタート 1
1
84

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19.3. 積の法則
●積の法則は、Aの起こり方が通り、 Bの起こり方がq通りならば、 共に起こる場合の数は、pxq通り
● 同じ結果が何回でもゆるされるとき、1回あたりが通りならば、 回起きる場合の数はpをn回かけた数
(1) 積の法則
【法則】
Aの起こり方が通り、Bの起こり方がq通りならば、
AとBが共に起こる場合の数は、pxq通り
積の法則が使えるときの例 (Aの場合×Bの場合)
√Aを□個とBを△個をそれぞれ選ぶとき
AとBが共に起きるとき
√A、Bを続けて選ぶとき
(例) 右の図のように、A,Bの間に2本、
B,Cの間に3本の道があるとき、
A地点から、 B地点を通って
C地点に行く方法は何通りありますか?
A
B.
C
(解)A→Bが2通り、 B→Cが3通りなので、 2×3=6通り
(例)1組52枚のトランプの中から、 続けて2枚抜き出すとき、
2枚ともスペードである場合は、 何通りか?
( 1回目取り出すとき、
スペードは13通りある。
1回目スペードを取り出した後に
1回目: 13枚
2回目 12枚
・除く
3
2回目取り出すときは
残りの12枚 (12通り) に
なるので、
Q
13×12= 156通り
K
OK
仮に、 2を
2回目は、
取り出した場合
2は出ない!
(2) 重複順列
【法則】
起こり方が通りで、 同じ結果が何回でもゆるされるとき、
回くり返すときの場合の数は、
pxpx...xp 通り
n個の積
重複順列の例
同じサイコロを口回ふるとき
じゃんけんを口回やるとき
○人の人がA、Bの部屋を選んで入るとき
部屋に入ることができる人数に制限がないとき)
▼カードがたくさんあるとき
(例) 1、2、3のカードがたくさんあるとき、 3枚をならべて、
3けたの整数を作ると、 全部で何通りできますか?
(解) 百の位は、 1、2、3の3通り
十の位も、 1、2、3の3通り
一の位も、 1、2、3の3通りなので、合計で
3×3×3 = 27[通り]
3回ならべる
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19.4. 積の法則の応用
● ならべ方を考えるとき、そこの枠に入る場合の数を考えて、 稿の法則を使って順番にかけ合わせる
● 特に、 異なるn個のものから異なる個を選んでならべるときの場合の数は、 nx (n-1)x･･･通り
(1) 列のならべ方
(例) A、Bの2人の男子と、 C. Dの2人の女子が1列にならびます。
①4人のならび方は全部で何通り?
r個の積
(2) 平面のならべ方 (ぬり分け問題)
(例) 右の絵を赤 青 緑 黄 紫の5色の
うちのいくつかを使って、
|B
ECO CEAD
↑
↑
↑
↑
最初は、A~Dの
だれでも良いので
4通り
最初以外の
だれでも良いので
3通り
残りの
残りの
2通り
通り
(A,C)
(Cのみ)
となり合う部分が同じ色にならないように
ぬり分けるとき、 色のぬり方は何通り?
(解) 一番、 多くの部分ととなり合っている
ウから決めると、ウに入るのは5通り。
ア、イ、エに入るのは、 ウ以外の4色で
あればとなり合わないので、
ア
ウ
イ
I
(例だとA、C、D)
積の法則を使うと、4×3×2×1= 24[通り]
積の法則より、5×4×4×4=320 [通り]
↑ ↑ ↑ ↑
ウァイエ
4人を4人全員選んでならべている状況!
② 女子がとなり同士になるような、 ならび方は全部で何通り?
女子(C.D) をセットにして、A、B、CDの3組のならび方を
考えると、 3×2×1= 6[通り]
ただし女子は、CDとDC の2通りが考えられるので
積の法則で、 6×2=12[通り]
③ 男子と女子が交互にならぶような、 ならび方は全部で何通り?
男女男女と女男女男の2通りが考えられる
男女男女は、2×2 = 4[通り]
AかB CかD
2通り 2通り
女男女男も同様なので、4×2 = 8[通り]
(例) 前例の絵を赤、青、緑の3色を必ず使用して、
となり合う部分が同じ色にならないようにぬり分けるとき、
色のぬり方は何通り?
(解 ウから決めると、ウに入るのは3通り。
ア、イ、エに入るのは、 ウ以外の2色であればとなり合わないが、
全部同じ色だと、 合計2色しか使わないので、この場合を除くと、
2×2×2-26[通り]
したがって、積の法則より、 3×6=18[通り]
ウア、イ、エ
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