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2024年度 10月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学@Akagi X 問題 X4 座標平面上に,円 K:x2 + y'-8x-6y +12=0があり,円Kと x軸の2つの交点を A, B とする。 ただし, (Aのx座標) < (B の x 座標)とする。 (1)円Kの中心の座標と半径を求めよ。 また, 点 A, B の座標を それぞれ求めよ。 (2) 直線l:3x-4y+α=0(aは正の定数)と円 Kが2点 C, D で 交わり, AB = CD であるとき, αの値を求めよ。 (3)(2)のとき,直線lとx軸の交点をEとする。 点Eを中心として 円 K を 90°だけ回転した円 K' の中心が第2象限にあるとき,円 K'の方程式を求めよ。 (配点 40 )
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自学@Akagi ~図形と方程式~ (1) K:x2 + y2-8x-6y +12 = 0 ▲ 平方完成すると (x-4)2 +(y-3)^ = -12 + 42 + 32 (x-4)2+(y-3)2=13 答 中心 (4,3) 半径√13 ▲ Kの方程式にy=0を代入すると x2-8x +12=0 ∴ (x-2)(x-6)= 0 ∴x=2,6 答 A(2,0) B(6,0)
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(2) お絵かきしてみると自 弦 AB = 弦 CD だから K の中心Pから それぞれの弦までの距離が等しい。 D oPからAB までの距離はPの y 座標より3。 oP から CD までの距離は,点と 直線の距離の公式により |3.4-4.3+α| |a| √32 + (-4)2 5 だいぶ変 P A B |a| よって, =3を解くと a = ±5 5 α > 0より a=5答
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(3)(2)より
l: 3x - 4y + 15 = 0
lとx軸の交点の座標は
R(-5, 0)
線分 RP の距離は
V{4-(-5)}'+32=3√10
よってでっかい円の方程式は (x+5)2 + y2 = 90 ①
円 K'の中心は, 点 R を中心とする半径3~10の円 (Q とする) 周上の
第2象限にあり, 直線 RP と垂直な直線と円 Qとの交点にある。
○ 直線 RP の傾きは
K'
3
→ 直線 RS の傾きは-3
○ 直線 RS の方程式は
y-0=-3(x+5)
∴y=-3x-15
②を1へ代入すると
(x+5)2+(-3x-15)²=90
整理して
x 2 +10x + 16 = 0
これを解くと
S
(x + 2)(x + 8) = 0 ∴x=-2, x = -8
これらを2へ代入して
y=-9,y=9
R
円 K'の中心は第2象限にあるから,中心の座標は(-2, 9)。
また, 回転移動しただけだから半径は円Kと同じ√13。
P
以上より,
円 K':(x + 2)^ +(y-9)²=13答
K
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