ページ3:

48.三項以上連比時沒有内x内=外x外
ex.
a:b:c=2:3:5
2C+ 3b5a
二、連比常見題型
1.若3x = 4y = 5Z,且xyz=0
求x:y:z=.
因3x = 4y = 5Z=k(可假設皆等於k)
k
1 x = x, y=x, z=k
則x:
所以x:y: z
==
k_31_3
=
=
"
:
"
k_41_4
"
"
k_5 125 2
=20 : 15:12
x60
k
*

ページ4:

2.若5xy = 4yz =3xz,且xyz≠0
求x:y:z =
xyz≠0表示可以除以 xyz
將5xy=4yz=3xz同除以xyz
⇒證==卷
xyz
⇒ ÷ =
4
x
xyz
3
= = k (可假設皆等於k)
y
⇒Z=5k,X=4k,y=3k
⇒ x :y:Z =4k:3k : 5k
=4:3:5.
= 5

ページ5:

三,面積比
在三角形中
同底時
面積比=高比
B
△ABC:AADC =
:
2
2
axh₁ = axh₂ = h₁ = h₂
h:
A.
a
☆☆☆
同高時⇒面積比二底邊比
B
E
Améon
v
mxh
nxh
△ABC: △DEF
=
=m:n
2
2

ページ6:

響比例線段
1.當AB:CD=F:GH時,
則可以稱這四個線段成比例線段
2.平行線截比例線段
<三角形內部畫平行線 DE//B>
(1)上:下 = 上:下
:
AD DB = AE EC
AE:EC
::△ADE:△DBE=AD:DB(同高)
△ADE:△EDC=E:C(高)
又△DBE =△EDC(同底同高)
∴AADE:ADBE = △ADE:△EDC
AD:DB = AE = EC
"
A
全
全
上
上
D
E
全

ページ7:

(2)上:全 = 上:全
:
AD AB = AE
:
AC
:
··DADE : DABE = AD AB (F)
B
RAABE =AADE +^BDE = ^ADE + ACDE = AADC
(ABDE=ACDE)
AADE ABE = ADE ADC
=
AD AB
:
=
AE AC
:
(3)
F
下:全
D
DB AB = EC AC
:ADBE = DABE = DB = AB
ADCE AADC = EC : AC
X ABE = ADC (ABDE=ACDE)
ADBEAABE = ADCE AADC
DB AB = EC AC
:
I
上
LIH
全
W
LE
F

ページ8:

(4)上:全 = 上:全
DE: BC = AD:AB=AE: AC
DE:BC = FC:BC
= AD:AB
= AE:AC
人
上
上
全
m
K
3
全
*(1)~(3)任一成立時,可回推DE // BC
但僅(4)成立時,DE不一定平行 BC
A
全
D
B
F
T
全
王
E

ページ9:

<任兩直線被平行線所截>
兩線L、M被L、L2、L3所截
A L₁ // L₂ // L 3
則AB:BC=DE:EF
(平行線截比例線段)
L
M
A
D
厶
B
L2.
E
C
L3

ページ10:

五縮放圖形
1.縮放線段
L.
A
A
在直線L上,找一固定點,再任取一點A
並在OR上取一點A,使OA' = KOA
⇒ 固定點稱為縮放中心
=>
OA'
=
新圖
"
k
,
k 稱為縮放倍率
OA 原圖
⇒K>/是放大;k<1是縮小
2. 縮放圖形
⇒若OA=KOA,且OB = KOB
則 AB = KAB,且AB // AB
⇒ △OA'B'為 AOAB縮放k倍後的圖形
⇒不論縮放中心的位置
A
B
B
以相同縮放倍率畫出的圖形,為同一個縮放圖形

ページ11:

相似形
當兩個多邊形,對應角相等且對應邊長成比例時
則這兩個多邊形互為相似形
1. 符號『~』: 相似
△ABC~△DEF表示△ABC和△DEF相似
所以「∠A=∠D,∠C=<F,∠B=∠E
AB : DE = BC : EF = AC : DF
2.兩個三角形對應角相等或對應邊長成比例擇一成立時
⇒兩個三角形相似
3. 兩個四邊以上圖形,對應角相等且對應邊長成比例
皆成立時
⇒兩個圖形相似
4.正n邊形必定和正n邊形相似

ページ12:

5.當兩多邊形相似,邊長比為a:b,則
周長比=a:b,面積比=²:b²
6. 相似三角形之間的比例
邊長比=對應高比二對應中線比=對應角平分線比=周長比
面積比 = 邊長平方比二高平方比=中線平方比
=角平分線平方比
=周長平方比

ページ13:

判別相似三角形(AAAAA、SSS、SAS)
A:對應角相等S:對應邊成比例
1. AA.AAA相似:兩個(三個)對應角相等
65
A
65
B
400
751
C
#40°
E
75°
⇒ ZA=2D, ZB = LE
: ABC NADEF (AA)
2.SSS相似:三組對應邊成比例
22
12
A A
B
7
14
⇒ ABDE = BC: EF = ACDF =1:2
ABC DEF (SSS)

ページ14:

3.SAS相似:兩組對應邊成比例,且夾角相等
65°
20
16
^
E
⇒ ∵ABDE = AC: DF= 1:2且∠A= <D
∴ △ABC~△DEF(SAS)
*沒有ASS相似: ASS成立時圖形不一定相似
20
A A
B40°
#40°
⇒ △ABC~△DEF(ASS)
10
-40°
20
40°
16
△ABC和△DEFASS性質
>但兩者並不相似

ページ15:

八常見的相似三角形
1. 在三角形内畫一平行線,必出現相似三角形
B.
A
∵∴∠A=∠A,∠D=∠B(同位角)
∴AADE ~ △ABC(AA)
2.在直角三角形任意一邊上作垂線,必出現相似三角形
A
D
∴∠D=∠B=90°,∠C=∠C
∴AEDC~△ABC(AA)
B
E
*觀念延伸
B
C
D
A
介
∴∠CBD=∠BAD, LC =LC
∴ABDC~△ABC(AA)

ページ16:

3. 領結圖形易出現相似三角形,對頂角相等已滿足一個A
A.
BY
IC (1)
E
九、中點連線性質
“若∠A=∠D或∠B=LC
則△AEB~△DEC(AA)
若AE: DE = BE:CĒ
則△ABE~ADCE (SAS)
B
A
山
@
e
D
A
1. EBDF. EDCF, EDFA皆為平行四邊形
C
2.0~④四塊三角形皆為相似三角形
30~④周長皆相等=△ABC周長
4.①~面積皆相等=#△ABC面積

ページ17:

十、直角三角形特殊邊長比
當三角形的三個內角固定時,邊長比例也會固定
與三角形的大小無關
1.45.45°、90°
2
可假設三邊為
√2X
x
①
45°
2.30.60°、90°
1301
60°
可假設三邊為
ˊ
45°
130°
√3X
2x
x
60°

ページ18:

十一、平行四邊形與相似三角形
A
O+A
X+A
O+A
G
X+△
F
△+☆
O+x/D
E
B
1.△EFD~△EBC
C
2.領結圖形易出現相似(AA相似)
⇒AEFD ~ABFA
⇒ AEGC~ABGA
△AGF~~CGB

ページ19:

十二、三角函數
在直角三角形中,若一個銳角固定,則邊長的比例也固定
ex.
B
60°
斜
角A的對邊
A
30°
1. Sin A = 對邊
2. COSA
斜邊
角A的鄰邊
(3)
ex
ex
鄰邊
=
斜邊
Sin30°=-
cos 30° =
2
√3
2
3. ±anA
對邊
=
鄰邊
,
ex
tan 30°=
√3