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〖期末テストに出た問題①】 不定積分と関数決定
次の三つの条件を満たす定数 αの値と関数 f(x) を求めよ。
f'(x) = 3x² + ax, ƒ(0)=2, ƒ(1) = 0
不定積分→代入 積分定数の決定 文字定数の決定
解.f'(x) = 3x2 + αxを不定積分すると
3
ƒ (x) = [ƒ'(x)dx = [(3x² + a)dx = x² + 1½ ax² + C
1
2
・f(0) = 2より 03 + ½ a.0² + C = 2
2
C=2
①
• f(1) = 0 1² + · 1² + C=0
1
・C=2を代入して
1+a+2=0
2
a = -6
②
1
・①,②より
すなわち
3
f(x) = x² + ½ ½ (-6)x² +2
2
f(x) = x³-3x² +2

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〖期末テストに出た問題②〗 接線の傾きからの関数決定
関数 f(x) のグラフは、2点(1, 2) (-2, -1)を通り、グラフ上の任意
の点(x, y) における接線の傾きは6x²-2x+αである。
このとき、定数 αの値と関数 f(x) を求めよ。
不定積分 代入・代入 連立方程式
接線の傾きが
解.
f'(x) = 6x²-2x+α
f'(x)
と表せ、これを不定積分すると
f(x)=f(6x2. -2x+a)dx
=
2x3 - x2 + ax + C
f(1) = 2
より
2 · 1³ −1² + a · 1 + C = 2
.
..a+C=1
①
f(-2)=-1 より 2.(-2) -(-2)^+ α(-2) + C = -1
①と②を連立方程式として解くと
これらを⑩に代入して
...-2a+C=19 ......
②
a=-6,C=7
f(x)=2x3-x2-6x + 7