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〔1〕 (1)(x+1)(x+2) (x+3)(x+4) を展開すると, x4+ アイ x3 + ウエ x2 + オカ x+ キクである。 275n (2) が有理数となるような最小の自然数nはケコサである。 126 (3)不等式 (x2-2x-11)+4(x²-2x)-76≦0を満たす最大の整数xは シ る。 であ (4) 半径1の円に内接する正十二角形の面積は ス 外接する正十二角形の面積は セソ - タチ3である。
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[1] 自学 © Akagi
(1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)を展開すると・・・・
(2)
=
= {(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}
= (x +5x+4)(x2 +5x+6)
= (A+4)(A+6)
= A² +10A +24
=
= (x +5x) +10(x+5x)+24
4
= x²+10x³ +25x²+10x² +50x+24
4
=x+10x+35x² +50x+24
=
275n
126
52 x11
√√32 × 14
が有理数となるような最小の自然数 n は･･･
n =
5 11
314
n⇒n=11×14=154
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(3)不等式(x²-2x-11)2+4(x²-2x)-76≦0を満たす最大の 整数xは・・・・ X = x²-2x (X ≥ −1)¿¯‹¿ (X-11)²+4X-76≤0 x²-18x+45≤0 (X-3)(x-15) ≤0 3≤ X ≤15 3x² -2x15 連立2次不等式を解くと 3 ≤ x² - 2x x²-2x-3≥0 (x+1)(x-3)0 x-1, 3≤ x x²-2x ≤15 2 x²-2x-15≤0 (x+3)(x-5)≤0 -3≤x≤5 これらの共通範囲は-3≦x≦-1,3≦x≦5 この範囲で最大の整数xは5圏
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(4) 半径1の円に内接する正十二角形の面積は･･･
半径 1, 中心角 30°の二等辺三角形 12個分だから
1/x1x1x
- x1 x1 x sin30°)×12=3
半径1の円に外接する正十二角形の面積は････
LC
余弦定理により
x² = y² + y² − 2 ·y.ycos 30°
=(2-√3)y2...
三角形の面積の公式により
- xyxyx sin 30°=
2
y²
1
4
1
底辺×高さ÷2より
y
y
x
xx1+2
=-
①と②が等しいから
y²
y2_x
4
=
2
y2=2x
2
2
もっとスマートな
解き方がありそう
これを※に代入して
30°
x2=(2-√3)x2xxfr-(4-2√3)}=0→x=4-2√3
よって、 半径1の円に外接する正十二角形の面積は
{(4-2√3)×1+2}×12=24-12√3 圖
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