Question

ひなこ

(2)で出てきているcosθの範囲はどこから判断できますか？

250
|基本例題 156 3 倍角の公式の利用
×
(1) 等式 sin 30+ sin20=0が成り立つことを証明せよ。
半径1の円に内接する正五角形ABCDEの1辺の長さをαとし, 0 =
2
π
とする。
(3) αの値を求めよ。
(2) cos の値を求めよ。
(4) 線分 AC の長さを求めよ。
[山形大 ]
P.247 基本事項
(1) は (2)のヒント
指針 (1) 30+20-2 であることに着目。なお, 0を度数法で表すと72°である。
(2)
と, coseの2次方程式を導くことができる。 0<cos0 <1に注意して,その方程式
を解く。
(3),(4)余弦定理を利用する。 (4)では,(2)の方程式も利用するとよい。
(1)の等式を2倍角 3倍角の公式を用いて変形する
50=2π
よって 30=220
450=30+20
解答
このとき
したがって
(2)(1) の等式から
sin30=sin (2π-20)=-sin20
sin 30+ sin20=0
3sin0-4sinQ+2sinOcos0=0
sin0 0 であるから, 両辺を sin0 で割って
3-4sin20+2cos0=0
3-4(1-cos20)+2cos=0
4cos20+2cos0-1=0
ゆえに
整理して
(*)
-1+√5
0 <cos0 <1であるから cos 0=
4
3倍角の公式
sin30=3sin0-4sino
忘れたら, 30=20+0 と
して, 加法定理と2倍角
の公式から導く。
(3)円の中心を0 とすると, △OAB において, 余弦定理
により AB2=OA2+OB2-2OA・OB cose
=12+12-2・1・1・
-1+√5 5-√√5
=
4
2
a > 0 であるから
5-√5
a=AB=
2
(4) △OACにおいて, 余弦定理により
AC2=OA2+OC2-20A・OC cos 20
(3)
B
(4)
a
1
E
0
1
0
=12+12-2・1・1・cos20=2-2(2cos20-1)
1
E
=4-4cos20=4-(1-2cos0)=3+2 cos
B
AC > 0 であるから
(2)の(*)から。
AC=
=√3+2-1
-1+√5
5+√5
2
1
D
練習 (1) 0=36° のとき, sin30=sin20が成り立つことを示し, COS 36° の値を求めよ。
③ 156(2018° のとき, sin20=cos30 が成り立つことを示し, sin 18° の値を求めよ。
p.254 EX99

Answer 1

もずく

2/5πが72°だからθが0°～90°の範囲にあるところからだと思います。