Question

ひなこ

一般解を表すときの2nπは何をあらわしていますか？
また、(3)でnπになるのは何故ですか？

232
基本の
例題 142 三角方程式の解法・・基本
002のとき、 次の方程式を解け。 また, その一般解を求めよ。
1
(1) sin0=-
(2) cos 0=
√3
2
(3) tan 0=-√3
p.231 基本事項
解答
三角方程式 sino=s, cos0=c, tan 0=t は, 単位円を利用して解く。
① 6 を図示する。
次のような直線と単位円の図をかく。
sin0sなら, 直線 y=sと単位円の交点P Q
COS 6=cなら、直線x=cと単位円の交点P,Q
tumb-tなら、直線y=tと高線x=1の交点T (OT と単位円の交点がPON
として, 点P, Q, Tの位置をつかむ。
② ∠POx, QOx の大きさを求める。
なお, 一般解とは 0 の範囲に制限がないときの解で, 普通は整数nを用いて答える。
1 と単位円の交点をP,Q とすると,求める
(1) 直線 y=- 2
0は,動径 OP, OQ の表す角である。
y
1
7
0≦0<2では
0=x, 117
=16
0
-1
1
P
Q
7
11
11
一般解は
0= =1/2x+2nz,
-π+2nπ n は整数)
6-1
1
6
2
√3
(2) 直線x= と単位円の交点をP, Q とすると, 求める
2
0径 OP, OQの表す角である。(*)0=±+2nπ
YA
1
11
6
6
π 11
0≦0<2では
0=
π
6 6
11
一般解は
0=+2nx,
6
+2n
(*) ( n は整数)
6
と表してもよい。
P√√3
✓ 2°
O
11
Q
(3)直線x=1上でy=-√3となる点をTとする。
直線 OT と単位円の交点を P, Q とすると, 求める0は,
動径 OP, OQ の表す角である。
y
2
3
2
5
O
1
X
0≦02では
0=
πC
3
一般解は
0= +
3
02/22 (nは整数) 1/3も含まれる。
5
-1 Q
-3
T(1,-√√3)
【参考】 (1) の一般解は0=π+2nπ,
7
π
+2nz=-
6
6
-π+ (2n+1)であるから,
7
0=(-1)"-x+nπ(n は整数)と書くこともできる。
練習 0≦02 のとき,次の方程式を解け。 また, その一般解を求めよ。
② 142
(1) sin=-
√3
2
(2)√2cos0-10
(3)√3tan0-1
(4) sin0=-1
(5) cos0=0
(6) tan0=0
p.240 EX88

Answer 1

ブドウくん

単位円一周が2π（rad）なので、2nπはn回グルッと回ることを指しています。1周しても何周しても単位円上では同じ位置なので、三角比の値は変わりません。また、tanは原点と単位上の点を結んだ直線の傾きを表すので、半周したら同じになります。
単位円上でπ/3 rad をさす点(1/2, √3/2)と、原点を通る直線
単位円上で4π/3 rad をさす点(-1/2, -√3/2)と、原点を通る直線
この2つは、どちらもy=√3xであって、tanは√3です。