【メジアン数学演習】55

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

高校全学年

▷ 二次方程式

2025.11.24 公開

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ノートテキスト

ページ1:

55(1) 実数x, yが(x-3)2+(y-3)2=8を満たすとき,x+yと
xyのとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ。
(2) α,βは(a-3)2 +(β-3)^=8かつα < βを満たす実数
5
とする。 また,α, βは2次方程式x²-kx+==0の2つの
2
解であるとする。 このとき,k, a, β を求めよ。
〔埼玉大〕

ページ2:

2次方程式:リクエスト自学 © Akagi
(1)(x-3)²+(y-3)^= 8 を展開して基本対称式で表すと
x² − 6x+9+ y² −6y+9−8 = 0
(x² + y² ) − 6(x + y) + 10 = 0
(x + y)2-2xy-6(x + y) + 10 = 0
ここで、x + y = X, xy = Y とおくと
Yについて整理すると
X2 - 2Y - 6X + 10 = 0
Y
=1x2-3X+5…①
2
平方完成して
=1/2x-332+12
また、x、yを解とする2次方程式は(t-x)(t-y) = 0
展開すると
f2-(x+y)t +xy = 0
すなわち
t2 - Xt +Y= 0
xy は実数だから, ② の判別式を
Dとすると、 D≧0であるので
①を③に代入してYを消去すると
D=X2-4Y ≧ 0
X2-4(-X2-3X+5)≧0
2
X2 - 12X + 20≦0
(X-2)(X-5)≦0
※※の範囲で2次関数※は
X = 10で最大値 Y = 25
∴2≦x≦10 …※※
X = 3で最小値 Y = - をとるから
≦x≦25
2
≦x≦25
G2≦x+y≦10
25
1|2
2
3
10

ページ3:

(2)α,βは(α-3)2 +(β-3)^= 8を満たすので,(1)より
2 <α +β <10 ... ア
5
α,βは2次方程式 x2 -kx+==0の異なる2つの解だから、
解と係数の関係により
アとイより
(1)より
すなわち
2
a +β=k ... ①
aβ
=
5
2
... ウ
2 <k < 10 ･･･ エ
Y=1x2-3X +5
2
オ
aß = ± ± (a + B)² = 3(a + B) + 5 ...℗ ℗
aβ
1
2 2
2
-k2-3k +5
(k-1)(k-5)=0
5
イとウをオに代入
=
これを解くと
エより
k=5
このとき
∴.k=1, 5
x2-5x+
5
2
5-√15
a<βだから
a
2
=
"
0
B
=
.. x =
5+√15
2
5±√15
2