數平面向量的內積 5頁綜整

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Senior High 全学年

數平面向量的內積 5頁綜整

2025.12.07 公開

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ノートテキスト

ページ1:

文:平面向量的內積
*向量的夾角:
平面上兩個非零向量可和右,平移其中一個向量讓他
們有相同的始點(0°3041807
和
當前和方向相同,夾角日為0°
古
→ 0=180°
方向相反,夾角日為180°
* 向量的內積:
設平面上兩個非。向量,古其夾角假日
(1)規定式和的內積木.古為=|||cos日
| | 317 a dot b)
2 兩向量的內積等於兩向量長度與餘弦值的乘積
tjp》:1.兩個向量的內積不是向量,而是實數
.
|
2. 7.它的「.」 不是數字的乘法,不可寫成 àxv
12) 312 α = (a₁, a²), b = (b₁, b²), 31 a. b = a, b₁+ a=bz
> 兩向量的內積等於各分量的乘積和
(3)利用内積求向量夾角(設兩向量都不是零向量) ⇒ 10303-
-垂直向量的判定:兩非零向量:0
a
* 平行向量:可估存在一非零實數,=,==(bb20)
*內積的運算性質:設計,它是任一向量,r是實數
ab
(1)=1≠”(內積僅有長度的平方)
(2)./交換律)
=

ページ2:

13) (rā) ⋅ b = à ⋅ (rò) = (a + b)
.
(4)+=+.(分配律)
☆高二
時,不一定等於(內積無消去律)
*向量的正射影:
定義:設有,二是平面上兩個非零向量
若A點在直線OB上的重足為C點,向量
稱為前方上的正射影
0 %
·B
0=c oc= b B
·B
Coc
→ 當日為銳角時,和方同方向
→當日為直角時,C=0
→當日為鈍角時,它反方向
* 向量正射影的求法:
平面上兩個非零向量不高,正射影及(部) 古
*向量分解為兩互相垂直的分量之和:
15
A
市
b
*直線的法向量:
設方在古上的正射影原声
則二十一),其中上市
非零向量和L的方向垂直,
古就是直線人的法向量
→直線的法向量彼此平行
18
*方(a,b)是直線L=ax+by+c=0的一個法向量
p2

ページ3:

* 兩直線的夾角:
n
√ √ n₁ = ( a., b.), n₂ = (a, b) 1 / Fak
"
41: ax + by + 01=0, Lzi Azx + boy + c₂ = 01273
當前和应的夾角度日時,直線山和L2的一夾角也為日
另一角做180-日
180°-0
2
女三角形的外心向量性質:
設為△ABL的外心(三邊中垂線交點)
P
E
F
丽丽丽丽=”
AO · AU = AE · AU = 1 | A4 |
B
☆三角形的重心向量性質:
設H為△ABC的重心(三高的交點)
EAF AM· AB = AE · AB = FC. AB
* 柯西不等式:
.
AH· AV = AF · AC = AB-AU
向量形式:
若可它為平面任意兩向量.
當同時10=0°or1887或方,其中有零向量
·一般形式:
#a₁, az, b₁, bz 11-12, a = \a₁, a²), b=1 b,,bx)
[(ai) + (az)³] [(b₁}'+ (b>)³] = [(aibi) + (azbz)]
P3

ページ4:

(平方和)(平方和)=(乘積和)
*重點題型彙整:
.
.
的大小關係?
Er
F.
0483%
A
03
ed
D
AB·AL
.
AD,
痱
· AB = |AB|| AB | Los 0° (a)
AB AB =
.
•CAB· AC = |AB||AC | LOS 01 (6)
AB· AD = |AB|| AD | LOS 82 (c)
AB · AE = |AB||AE | LOS 03 (d)
•b AB · AF = |AB||AF|vosay (e)
bójkobza=uzdze
#
·已知正五邊形ABCDE的邊長為4,試求成.00
取丽的中點M,前上丽
AD· AB = |AB|| AD | X LOS LOAM
= JABI (ADX LOS LDAM)
= |AB||AM = ± √ √ AB1 = 8
.
四邊形DABC為正方形,且A13.17,為原點,求頂點
B.C坐標
341: 32B (x, y₁), C(x2, y2)
où · JA=0=73x² + y² = 0
.
OC = JA = √10 = x² + y ₁ = 10
,
x²² = 1, X = 11, 12 × 2 < 0 ) X 2 = 1 yr = 3
B
o B 1 0 A 1 1 4 2 6 4 5 7 x170 = 311 41+0 = 1+3
丽和前的中點重合
X₁ = 2, y₁ = 4
=4
B(2.4) (-1,3)
2
(3.17
p4

ページ5:

法乙:因哨(3.1),令=(九,一3) 前後互換,後項號
|o0|=|0À| = √10= |(t₁-3+)|
兩向量垂直的計算,可以利用:
℗ LOS =
a²+b² - v² @ Max Mb = -1 1473*0*13-1) © α-6=0
lallbl
③
• 2||0||*|=2, 151=3, 1 =1=5, 18+ 5 + 2 = 0, &|| 35+45+52)=?
.
•
74 = 9+ 256- 0 + 25, 6.2=-15
| 3 à + 4 b + 5 û | = | b + 2 v 1 = √161²+450+4141² = √9-60+100 = 1 #
· 31 a + b + c = 0 ≤ α · b=-8, à·u=-28, ₤21?
à·(a+b+c) = α⋅ ō=0
| a | ² + (-8) - 28 = 0 =) | a1=36, |a|=6*
設13,11=2,和它的夾角為120,七為實數,
誡+(+1)古與一方+坊的內積最小值
cos 120° = -1/2 = 1 all bl
.
[a + (++) b ] ² + [ - α + tb]² = -|a|+ta·b-\++i) a: To +
.
#
+(x+1)151=-9+ (+-++1) 5:16 +|++1) 4 = 4= +4=-9-2·5
-74 + + 4 + -b = 4 (t³ + €) -6 = 4 (t++)²= ||
→七時,有min值一个 #
65
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