2次関数【高2】5月第1回全統記述模試

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

高校2年生

▷ 過去問自学

2026.05.02 公開

高2 数学二次関数全統記述模試過去問赤城 2次関数２次関数平方完成 math 過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

3
xの2次関数 f(x)=x²-2x+2があり, 放物線y=f(x) を
Cとする.
(1)(i)Cの頂点の座標を求めよ.
(ii)0≦x≦4におけるf (x) の最大値と最小値を求めよ.
(2) pを正の定数とする.Cをx軸方向にp、y軸方向に-p
だけ平行移動した放物線をC2とし, C2の方程式を y = g(x) と
する。
(i) C2の頂点の座標を求めよ.
(ii) 0≦x≦4における g(x)の最小値をmとする.mをpを
用いて表せ.
(Ⅲ)次の2つの条件 (A), (B)がともに成り立つようなpの値の
範囲を求めよ.
(A) 0≦x≦4を満たすすべての実数xに対して, g(x)>0
(B) 0≦x≦4を満たすある実数xに対して,g(x)>8

ページ2:

3 2次関数
第1回全統高2模試@自学 Akagi
C:y=f(x)=x2 - 2x + 2
(1)(i) 平方完成すると
f(x) = (x-1)2 +1
よって, 頂点の座標は (1,1)圈
(ii) 0≦x≦4の範囲でCのグラフをお絵かきすると
C₁
最大
2
最小
1
x
1
4
図より, x = 4 のとき最大となり, 最大値はf(4)=10
x=1 のとき最小となり, 最小値はf(1) = 1 圈
をとる。

ページ3:

(2)(i) C2の頂点の座標を求める。
Cをx軸方向にp、y軸方向に-pだけ平行移動した
放物線だから, 頂点が
C,(1, 1) C2(1+p, 1-p)圈
(ii) i より C2:y=g(x)={x-(1+p)}2 +1-pp > 0
0≦x≦4におけるg(x) の最小値を求める。
ア 0<p かつ 0≦1 + p < 4 すなわち 0<p<3
のとき m = g(1+p) = 1-p
① 4≦1+p すなわち 3≦p のとき
m=g(4)=p2-7p+10 圄
ア軸が定義域の中 イ 軸が定義域より右
最小
最小
0
1+p_4
0
41+p
今回は
軸が定義域より左
はない

ページ4:

(3) (A)0≦x≦4を満たすすべての実数xに対して, g(x)>0
(B) 0≦x≦4を満たすある実数xに対して,g(x) > 8
(A) すべての実数
⇔ 最小値が0より大きければよいので m>0
(B) ある実数
⇒ 最大値が8より大きければよいのでM > 8
m>0かつM > 8であるpの値の範囲を求めよ
これを解けばよさげ♪
最大と最小を同時に考えるときは,次の5通りに分ければ必ず
求められる。
① 軸が定義域より左 ※今回はこれはない
② 軸が定義域の中で, 定義域の中央より左
(3 軸が定義域の中で, 定義域の中央と一致
軸が定義域の中で, 定義域の中央より右
⑤ 軸が定義域より右

ページ5:

(3) m>0かつM > 8であるpの値の範囲を求めてみます。
C2:y=g(x)={x-(1 + p)}' +1-p
①p+1 < 0 すなわち p<-1 のとき
p>0の条件を満たさないから不適。
② 0≦p +1 < 2 すなわち 0<p<1 のとき
om = g(p+1)=1-p > 0
より
1> P
o M = g(4) = p2-7p +10 > 8
7-√41
7 +√41
より p<
<p
2
2
7-√41
よって
0<p<
2
③ p+1=2 すなわち p = 1 のとき
om = g(p+1)=1-p = 0
これはm>0を満たさないので不適。

ページ6:

(4)
2 <p +1 < 4 すなわち 1 < p <3 のとき
om=1-p>0より 1> p
これは仮定(1<p<3)を満たさないので不適。
4≦p+1 すなわち 3≦p のとき
⑤4≤
om=g(4) = p2 - 7p +10 > 0
より p < 2,5<p
2
o M = g(0) = p' + p + 2 > 8
より p < -3, 2 <p
よって
5<p
7-√41
①~⑤より
0<p<
5 <p 圄
,
2