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令和7年1月進研記述高1 模試 @自学 B3 0, 1, 2, 3, 4の5枚のカードと, 0, 1, 2, 3, 4 が書かれ た5つの箱があり,5つの箱にカードを無作為に1枚ずつ入れる。 箱に 書かれた数字とその箱に入っているカードの数字が一致したものについて, 一致した数の和をSとする。 例えば, 箱0に4,箱1に1,箱20,箱3に3,箱4 に 2 が入っている場合は, 1と3が一致しているので, S=1+3=4となる。 (1) Sの最大値を求めよ。 また, Sが最大となる確率を求めよ。 (2)箱 0と箱1と箱 4 のみ箱の数字とカードの数字が一致する確率を 求めよ。 また, 箱1と箱4のみ箱の数字とカードの数字が一致する 確率を求めよ。 (3) S=5である確率を求めよ。 また, S=5であるとき,一致する数 字が2個である条件付き確率を求めよ。 (配点 40)
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自学© Akagi (1) 前半 Sが最大となるのは、 カードの数字と箱の数字がすべて一致した とき。 ■ 後半 S = 0 +1 +2 +3 + 4 = 10 上記の確率は, 確率の乗法定理により 1 5 × 1 - 4 1 1 1 1 × -x × = 3 2 1 120
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(2) ◆ 前半 ○箱 0, 1, 4 が一致 1-5 × 14 × 1 ○箱2に3, 箱3に2 × = 2 || 1|31|2 = 1|8 1 これらを同時に考えればよいので × 60 ◆ 後半 箱1と箱が一致 -> × 1 1 2 = = 120 ・ア 5 |4 20 このとき 1 1 ○箱 0に2,箱2に3, 箱 30 → x - x |= 3 2 ○箱 0に3, 箱 20, 箱 32 → 1 x - x 321 6 よって, アかつイまたはアかつウの二通りあり,それらは互いに 排反だから, 求める確率は 1 6 1 1 = ・ウ 1 1 1 + = 120 120 60
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(3) ■ 前半(S=5) ア: 箱 0 に, 箱1に, 箱に4 / 箱2に3, 箱3に2 1 120 イ:箱 0 に 0, 箱2に2, 箱33 / 箱 1 に 4, 箱に 1 →> 120 ウ:箱 1に1, 箱4に4 2 ※(2)より 120 ②: 箱 2 2 箱3に3 2 ※対称性により 120 ア~エは互いに排反だから, 求める確率は 1 1 2 2 + + + = 120 120 120 120 20 ▲ 後半 (条件付き確率) (++エ)÷(ア+イ + ⑦ + エ)より 4 ÷ 6 120 120 = 2 3 終
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