ページ3:

II
次の問題文の空欄に最も適する答えを解答群から選び、その記号をマーク解答用紙に
マークせよ。ただし, 同じ記号を2度以上用いてもよい。 (20点)
1
αを <a<1を満たす定数とし, 数列 {Sn} を次で定める。
√2
S. - L(-1)* dr
Sn=
dx (n=1,2, 3, ......)
(1) Sn+2 を部分積分法を用いて計算し、 さらに
− ſ' = {(± − 1)** } 'dz = ( #] ) Sn+2 + (4) Sn
T
-1
を用いると、次が成り立つ。
カ
1キ
Sn+ 7 - 1) Sn+2 = ク
(2) Sn0に注意すると,
<a<1と①より, 次が成り立つ。
V2
lim n Sn+1= ケ
n x
2
(3) ① の左辺に n=2k-1 を代入したものをLkとおき, 右辺に同様にn=2k-1
を代入したものを Rk とおく。 N を自然数とすると,
N
(-1)+1k
=
k=1
N
)Σ(-1)+1 S2k-1+ サ S2N+1
k=1
となる。これと①,②より, 以下を得る。
∞
S1-S3 + S5-......=
(-1)+1S2k-1
k=1
N
lim (-1)+Rk - サ
80+N
k=1
==
コ
N∞
==
シ
-4-
|
S2N+1
141-MQ

ページ4:

問題ⅡIのカキ, ケ, コの解答群
a-4
b-3
© -2
d-1
e 0
f 1
g2
h3
ⓘ4
①n-4
kn-3
In-2 mn-1 nn
On+1 Pn+2
⑨n+3
⑰n+4
(S)-2n
2n
問題ⅡIのクの解答群
a 0
b) 1
© 2
+1
2
Da (-1)**
i1+a
01+α (2-1)*
©a (2-1)* ©a (2-1)*
"(+²²-1)*
g1+a
a2
-(-1)*
h1-a
問題ⅡIのサの解答群
(-1) N (21) ①(-1) +1 (2N-1) (-1) N(2N)
(-1)+1(2N)
問題ⅡIのシの解答群
(-1) (2N+1)
(-1)+1(2N+1)
0
(1-2) (1-2)
(1 - a²)3
∞
C
d
(1 - a²)3
2a
3a
a²)
(1 - a²)
(1 - a²)
g
(h
2
2
a
4a
1
(1 - a²)
(1-a²)
k
(1 - a²)
(1 - a²) 3/2
3
3
4a
a
-5-
(設問は次のページにつづく)
141-MQ

ページ5:

III
数列{an} を次で定める。
01=8,
an+1=2cm +1 (n = 1, 2, 3, ......
さらに,an を 5で割った商を bn, 余りを rn とする。 自然数nに対して,以下の問い
に答えよ。 (30点)
(1) rm を求めよ。
(2) b5で割った余りを求めよ。
(3) an を50で割った余りを求めよ。
-6-
141-MQ

ページ6:

log x
IV
関数 f(x)
=
(x>0)を考える。 ただし, log は自然対数を表す。 以下の問い
X
pit
に答えよ。 必要であれば, 自然対数の底eに対して, lim =∞ を使ってもよい。
81x
→∞ I
(30点)
(1) f(x) の増減を調べ, f(x) の最大値と,そのときのæの値を求めよ。
(2) 自然数nに対して, an = とおく。 anの最大値と極限 lim a を求めよ。
n→∞
(3)a <bとなる自然数の組 (a, b), d = b を満たすものをすべて求めよ。
loga
log x
(4) (3) で求めた組 (a, b) に対して,c=
y=cで囲まれた部分の面積を求めよ。
とおく。 y=
のグラフと直線
a
I
-8-
141-MQ

ページ7:

I
(1)
N≥ 3
1~
n
n枚
3組
X1,X2, X 3
x1 = X2 = X3
X 1, X 2, X 3
3 h
は
P3=3n13n-1)(3n-2) (通り) ①
X₁ =
X
=
2
x3
(x,, X2,
X3)
=
い 1) (2,2,2)
(n,n,n)
.
nx3.2-1
1通り
より
確率は
n × 3 2-
2
Pd
3n (3n-1) (3n-2)
(3n-1) 13n-2)
(2) x =
=
X 2 < X 3
X2
<X 3
からまで
から
異なる
2数の選
び方
n
C2
通り
2
小さい 方を × 大きい方をx
とする
同じ番号札は
3枚ずつあるので
X2 3通り
X3
3通り
☑₁
=x より
2
✗₁
2通り

ページ8:

(3)
Xi
2
=x <X3
は
h
C2×3×3×2
①③よう 確率は
n C z x 3 x 3 x 2
通り
n(n-1)
2.1
=
3n-13n
-
1)(3n-2)
X, < X 2
=
X3
X=X22X3
h12≦ksn-1)
X2
=
k
x < x2 < X3
X, < k <X3
と同様にして
3 (n-1)
(3n-1)(3n-2)
の
番号
は
1.2
.k-1
k-1通り
X3の番号は
k+1,k+2,
n (k + 1) +
+1
=
n
-
h
1+1
n
-
k
通り
×3×3×2
3n (3n-1) (3n-2)
n(n-1)x 3×3
3n (3n-1) (3n-2)
3(n-1)
(3n-1)(3n-2)
n
同じ番号札が3枚ずつ
X, < k < X z は
あるので
3 (k-1) x 3 x 3 (n- k )
ん

ページ9:

=
27(k-1)(n-k) (通り)
① ④ より
確率は
27 (k-1) (n-k)
9 (k-1) (n-k)
=
7 b
3n (3h-1) (n-2)
n (3n-1) (3n-2)
(4)
(3) より
h-l
9 (k-1) (n-k)
k =
n (3 n - 1) (3n-2)
9
n (3n-1) (30-2)
9
n-1
"I ( n k - k ² - n + k )
k = 2
n}
(5
E' \ - k² + ( n + 1 ) k - n
In (3n-1) (3h-2) k=2
Ľ k
h-1
ここで
2
2
=
h
I h
k = 1
6
2
-
12-n²
in (n + 1) (2 n + 1 | - | - n²
h-1
n-1
Σ (n + 1) k = (n+1), I k
k=2
h=2
= (n + 1) |
n
(n + 1) (I k
k=1
-
1-n)
= (n + 1) { \/ \n\n+1)(n+1)}
h (n+1)
2
-
2
( n + 1)
= n ( n + 1) ²
2
2
2
( n² + 2 n + 1 )
= 1 / n ( n + 1 ) ² - n² = 2n-1
2
⑦
⑥

ページ10:

=
n-1
Ľ n
k=2
=
n
1-1)
k = 1
=
n
n
- 1
-
1)
=
In (n-2)
2
=
n
2n
⑧ より
9
n (3n-1) (3n-2)
9
n (3n-1) (3n-2)
{ _ _ _ n ( n + 1 ) ( 2 n + 1) + 1 + n²
1
+
9
3n-2)
n (3n-1) (3n-2)
{
9
n (3n-1) (3n-2)
3
2 (3n-1) (3n-2)
3
2 (3n-1) (3n-2)
3
2 (3n-1) (3n-2)
-
2
n (n+1)²
-
n
2
- n
2
n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )
3
+
6
h (n+1)"
2
-
n
2n
-1
+24
1
2
n (n + 1) (2n+1)
n ( n +
2
-
6
6
fn\-(n+1) (2n+1)
2
}
n
2
}
+ 3(n+1) bn Y }
+ n + 2n+1)
+31n² 2n+1)
+
1
2
-
12 n
( -2n²
-
>
+3
+64 + 3
-
6n)
I n
2
- 3 n + 2 )
n-
-2n-1
on}

ページ11:

=
(5)
3 (n - 1) (n 2)
2 (3n-1) (3n-2)
(1) (2)(4)より
2
(3n-1) (3n-2)
I k
3 (n-1)
3 (n-1)
+
+
(3n-1)(3n-2)
(3n-1) (3-2)
3(n
12.2
+
2 (3n-1) (3n-2)
1) (n
21
2 (3n-1) (3n-2)
3(n-11.2 +
3(n-1)-2
+ 3 (n
-
1)(n
-
2)}
14
+
6n-6
+ 6n
6
2 (3n-1) (3n-2)
-
3 n
+ 2
11
2 (3n-1) (3n-2)
3n² + 3 n 2
-
2 (3n-1) (3n-2)
+ 3 ( n
(12n
-
2
2
8 + 3 n² - 9 n + 6 )
tp.

ページ12:

I
<a<l
=
n
da
(1)
=
Sn+2
a
安い
| (x)'
x2
n+2
リ
dda
n+2
2
n+2
2
da
I
い
2
* ( + ( * ) ×] =
=
0
al
ali
n+2
2
(n=1,2,3,
a
n+2
h+2
}
- ta' x 11 / 12 - 1 / 52 3 dn
-
Ja
x{1
-
n+2
x2
-
判
1
-
=
x
n+2
2
1
)
-
dr
n+2
2
x 1
x2
(n+2)
(n+2)
リ
n
1
|-
1 (-1) de
(n+2) 川
x2
+
(1
+1
da
2x
- 1)'da
万
xx
) da
2
dx
"' \ + " - * ) *+ 44 " - * )}]
川い
+1 X2
n+2
}
}dx

ページ13:

=
=
=
(n+2)
x²
(n+2) (Sntz
(n+2) Sn+2
-
1)
n+2
+ Sm
dx+
-
ハーパー}
)
dx
+(n+2) Sn
hp & p
よって
al
Sntz
-
=
リ
( n + 2 ) S n
ntl
2
al
ac
(n+2-1) Sn+2
+
n+2
+ (n+2) Snts + (n+2) Sm
(n+2)
Sntz+
2
(n+2) Sm
Sn+2
n+2
=
al
リ
2
①f
a2
(2) Sho
Sn+2
<a cl
dim n Sn+1
h+p
①より
(n+3) Suri + (n+2) Su+z = al — ==
n+1
a2
2
リ
n Snti
+ = a 1
3Sn+1 + (n+2) Sn+2
a2
h+3
2
h+3
Sh+10
'
nSm
=
a
n+3
2
-
{35m+(n+2) Sho}
n + 2 > 0, Sh+20 より
+
(n+2) Sn+2>0
3Smtl
n Snti
<
al
n>o, Snti > 0 &
n+3
2
n+3
ocn Shel
<al
2
-
a2

ページ14:

<a clより
2
< a² < |
> |
0 <
>
a²
>]
< 2
| > |
a²
n+3
=
0.
: lima (= -1) 20
n-p
12
はさみうちの原理より
lim
n Intl
= 0
②ケe
(3)
( n + 2 ) Sn
n+2
+
(n+2-1) √n+ 2
=
a l
2
-
①の左辺にn=2k-1 を代入
21-11+2}526-1+ {126-1)+2-1} 5 (26-1)+2
= {(2x-1)+2} 52k-1
Lk =
=
=
=
(2k + 1) 52k -1 +
2k52k+1
(2k-2 +2 + 1) Szk-1 + 2k 52k+1
(26-2)526-1
+
3524-1
+ 2k 52k+1
=
3 52k-1
+
(2k-2) Szk-1 + 2k S2k+1
N
(-1)k+| Lk
✓ (-1) +1
(-1)L
k
k=1
=
=
Hijk+! 3 52k-1 + (-1)+1 (2k-2) 526-1 + 2k Saktı?
N
k+1
N
ktl
3 I (-1) + S26-1 + I (-1) { (2k-2) 526-1 + 2k Sza+1}
=1
k = 1

ページ15:

N
ここで
Ě (-1) 4+1 { 12k -2) 526-1 + 2k Szk+1}
=
=
k=1
" (0.5, +253) - 12 5, + 4 5 5 ) + ( 455 - 657) -
N+1
(-1) +1 2N S2Nti
Σ (-1)
k = 1
L
h
①の右辺にn
N
k+1
+ (-1)* ((2-2) SAN- + 2N SIN+1}
N
= 3 [ (-1) + S16-1 + 1 (-1) | | (2-2) 526-1 + 2k Szans }
=
=
N
k+1
k=1
N+I
3 - (-1) + SR-1 + (-1) (2N) √201
k=1
2k-1を代入
+
R k = a ( +1/2 − 1 )
k+1
a²
k+1
26-1+2
2
=
a
a²
2k+1
(+1)**
Ĉ (-1) " Rk = C (-1) a ( — — = − 1 )
k=1
①より
ん
L k
=
k=1
(-1) k+1
Rk
=
N
a²
-
2
k+1
Rk
ÉLÉRA
k
Ľ (-1)
k=1
3 = (-1)²+1 S2x-1 + (-1) + (2N) √2011 =
k=1
N
k+1
3 Σ 1-1)²+ 52 k-1 = E (-1)'
.k+1
k = 1
k+1
Rk
-
k=1
| )
2k +1
2
(-1)²+1 RK
N+I
Rk
(-1) (2N) √2011
N+I
コムサ d
€ (-1)²+1 521-1 = 3 | 4 (-1)²+1 Rk - (-1) (2N) √2011)
k=1
k=1
k+1
S. - S3 + 55
=
Z (-1)
Szk-1
k=1
lim
N
-((-1-1-11" (2N) Sun)
=
3
Rk

ページ16:

4+1
a2
a
a2
Q2
-
1)
2h+1
2
(- — + 1)'
k
a2
(1)(2)}
"(2N) √2N91]}
a2
-
k
1)
03
=
=
N
limtial
lim
3 N-∞ k = 1
=
1/3
lim
k=1
=
(-1)
k+1
½ lim Σ (-1) a
(-a) |
as
a⋅ 1
-1)
=
3
a
3
a2
1
a" (1 - a²³) —
a'
a3
(1 - a') ==²
a3
1 +
a²
a2
a2
; j
+1)

ページ17:

TIT
ai
=
8
=
anti
an÷5
an
(1)
a₁ =
8
=
(1
=
2am²
+
(n=1.2 3
bu あまり
ru
(0≦r<4)
5bn tru
ri
5.1+3
= 3
a2
a3
2
= 2 a +
'
=128 +1
=
5.25
ra
2
=
=
+ 4
= zaz + |
2
4
2
2 15 25 +
=
2.
52.25
=
〃
=
2.8^+1
129
2 (5.25 +
4)+1
2.5・25・4+16) +1
2.5.25.4
+ 32+1
+ 2.
5 (2·5·25² + 2 5.25 4)+33
2
5(2.5・25'+2 2. 5.25.x + 6) +3
r3
=
3.
=
4 ( k = 1, 2, 3,.- )
①
√24-1
=
3
.
であることを数学的帰納法で示す
[1] k 1
=
のとき
ri
-
3
=
4
①は成り立つ
[2]k=lのとき
すなわち
①が成り立つ
rze-1 = 3, rze=41)
成り立つとする

ページ18:

整数
920-1
=
x,yを用いて
5.x+3
a
20
=
5y + 4
とおく。
k = l + 1
のとき
a 2(1+1)-1
=
A20+2-1
= 921+1
=
2
aze
+1
=
=
2
2
2 (5 g + 4 ) + |
( 5 ² y ² + 2.5 y · x + (6)
J
+
J
= 2.
52
9
+
4·59.4
+32
+1
=
512g
+
16g) + 33
=51292
+
169)
+ 5.6+3
=
2
5(29 +169 +61 +3
2=29'+16g+6とおくと
924+1
2 (l+1)= |
=
3
52
+3
k
=
0216+11
=
=
921+2
2 azeti
+ 1
2
2 15z+3) +1
2
152+2-52-3+3^) +1
=
2
2
=
2
52
2
=
5(22
2
=
5
22
=
UT
+ 4.52.3 + 18 + )
+ 12z ) + 19
+ 12 z ) +
5.3+4
5122+122+3)+4
+216+11
=
= 3
1218+1)-1
l+1のときも
,
8261+1)
=
4
①は成り立つ

ページ19:

[1][2]から、数学的帰納法により
すべての自然数について、
①
が成り立つ
3
rn
(nが奇数のとき)
=
(谷)
In
が偶数のとき)
(2)
bn
buを
5で割った余りを
=
5.1 + 3
rm とする.
ai
=
bi
rí
8
=
1.
az
2
=2a, +
こ
=
b2
r
128 +
=
2. 8 ² + 1
2
1
=
129
5-25+4
=
25
0.
=
1
Vízk
= 0
I k
=
1,2,3,
であることを数学的帰納法で示す
[1]
k=1のとき
a2-1-1
=
a,
=
8
bi
= 5.1 +1
=
50+1
=
)

ページ20:

02.1
b2
=
a₂
=
2.8^+1
=
128+1
=
129
=
5.25 + 4
=
25 =
5.5+0
= 0
k=1のとき
②は成り立つ。
[2] k = l のとき ②が成り立つ
すなわち
rée-1 = 1,
rie=0
が成り立っとする
実数pg を用いて
b21-1
=
5p+1
bze
=
+0
とおく
(1)
より
=
to
as
√21-1
be
=
= 3
4
921-1
=
5 b2e-1 + Vie-1
= 5 (5p+ 1) + 3
=
5² p + 5 +
3
2
=
5
P +
8
aze
=
5 bze +
Vze
=
5.59
+4
=
52q
+4
k=l+1のとき
9211+1)-1
=
a21+2-1 =
a20+1
2
2
=2021 + 1 = 2 ( 5² &
+
+4
4)² + 1
2
= 2154 q² + 2.5² - 4
+
16) + 1

ページ21:

:
= 2.5" q² + 4.5' q.4 +32 +1
&
= 2·59 + 16.5% + 33
=
2
54
q
=
6218+11-1
2
=
5
2
2
+16.59
3 2
+
5.6+3
12.5° q² + 16.5 q +6)+3
bze
21+1
=
2
-
=
=
2
3
5'9 +16 q
2.5 ³ & + 16.5%
2
+
6
+
5.1+1
512·529 + 1 6 % + 1 ) + 1.
† 21+1) -1 = 1 1.
2- 5² q² + 16 q + 1
b2e+1
=
928+1
=
=
= S と おくと
55+1
5-b2+1
+
√28+1
3
5 (55+1) +
2
2(1+1)
=
5's + 5+3
=
5's
+ 8.
026+2
=
2 azeti
+1
=
2 ( 5 ² 5 + 8 ) +
4
=
2
5 5² + 2.5² 5.8d+
64)+1
=
2·5 & 5² + 4·5² 5.8 + 128 +1
=
5 (2-535
2
+ 32-55) + 129
=
5
(2·5³♪ * + 32·55) + 5.5 +
4
=
5
( 2.5³ 5² + 32.55 +
5°)+4
:
6216+1) =
121+2
= 2-
5'S
²+32.55
+
52
L
=
512-5'
+32S +
5)
+ 0
82(4+1)
=
0.

ページ22:

126+12-1
=
|
1
k=l+1
の
ときも
r'zceti
= 0
②は成り立つ
[1][2]から 数学的帰納法により
②が成り立っ
すべての自然数んについて
(nが奇数のとき)
rh
=
(谷)
(nが偶数のとき)
(3)
(2)より
(3)
b2e-1 = 5p+1
b2d
=
59
④より
a20-1
a2l
=
52p+8
=
52g+4
anti
=
2
2am²+1
2am² +1は
anti
で
奇数より
も奇数
n≥2 のとき
anは奇数⑤
5'p+8
[1]
a2x-1
=
l=1のとき
a, =
8
50で割った余り
l≧2のとき
21 24
2l
133.
より
a2x-1は奇数
2
aze-1 = 5² p
+8が奇数

ページ23:

[2]
aze
Pが偶数と仮定すると
p+8 が
偶数となり
矛盾
Pは奇数
P=2p'+1
とおくと
929-1
(P=0.1.2,
5 (2p^+1) +8
=5'2p'+5'+8
50で割
50p
+33.
2
た余りは33
=
52
q
+4
lzl
のとき
⑤
より
2l≧2
a2l は
奇数
a2p=52g+4は奇数
qを偶数と仮定すると
52
q
+4
は偶数となり矛盾
qは奇数
=2g+1
= 0, 1,
2
とおくと
a2l
=
[1][2]より
=
5°(2g+1)+4
50g+25+4
=50g +29
50
で割
た余りは29
amで50で割った余りは
8 (n = 1 のとき)
)
33
(n≧3の奇数のとき)
(谷)
29
(nが偶数のとき)

ページ24:

IV
f(x) = log x (x>0)
(1)
fini
=
x
(log xx - (log x) (x)'
x
1
x
x
x
2
x'
2
log x
(lug X). I
f'(x)=0とすると
1-lug x =
f(x)の増減表
X
0
log
log
e
X =
x
=
0
-1
x = e
f(x)
fler
luge
=
=
e
x = e のとき
最大値
(答)
e

ページ25:

(2)
n
自然数
an
=
wn
=
ひが自然数のとき
> 0
log an
logn
log n
=
n
logn
が最大となるのは
n
2 <e <3 より
n=2 または
3
の
とき
anが
最大となるのも
n = 2 または 3のとき
lim log an
n+p
a
2
a3
=
2
1/2
3
厚
=
(左)
6
2 3=8
=
6
()
=
13
3
2
=
9
-
anの最大値は
3
a 3 = ³ √ √3
a3
logn
lim
n
( 1/1 )
(谷)
lugn=t とおく
2-4
n =
t
n-p
985 t → p

ページ26:

lim log an
174
=
=
lim
htbo
lim
t + b
= lim
t+r
logn
n
t
lim lug an
lim an
4+6
=
=
=
=
11
0
lim e
e
1
0
( 3 ) a < b
自然数
ab
=
ba
abが自然数より
b log a
=
=
a
b
070, 69 70
log b
a log
ba
a = 0, b = 0 £2
log a
a
Jug b
b
lim fixs him log x
X110
=
111+0
x
=
lim
0++x
=
∞
x
.
log X
et
I
et
t
I lim
D F
t-b
より)
log an
(答)

ページ27:

lim f(x) = lim log x
=
x+5
lim
t-
x
e t
=
log x
t
lim
t+b
(1)より
f(x)
=
図 の
ようになる
0
et
(X70)
977718
77757
log a
a
Jugb
=
b
f(a) = f(b)
0
11 2
e
(a> b)
となる
自然数a は
I‹ ace
a = 2
f(a) = f(2) =
log 2
2
f(b)を満たすbは
lug 2'
=
2 log 2
☑
-
log 2
2
また
e<b
グラフより
712)
=
ただ1つ
log 4
=
4
f(4)
f(2)
b
=
=
=
4
f(2)
f(4)
4
a = 2, b
=4
(谷)
y= f(x)

ページ28:

(4) 求める面積は
図の斜線部分で
Sとおく
J
y= f(x)
e
4
5 = 1,2³ { f(x)
=
2
log x
x
-
c 1 dx
log 2
2
= ) \log x) \log α) dx
= [ — — \logx)"],"
2
Jdx
-
2
12
log² [x] }
log
2
h₂2 (4-2)
== | | \log 4)² - (log 2)² } - log 2
2
=== - log 2
{\log 2²)² - (log 2)² }
2
===— - ( ( 2 bog 2 )² - ( log 2) ³ } - log 2
---|
=
2
4 (log 2)² - ( log 2) ² }
= 3 (log 2)² - log 2
2
-
log 2
(谷)
2