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無限等比級数の収束・発散 無限等比級数 8 n-1 ar = a + ar + ar 2+ n-l Za n=1 a = 0 のとき 収束して和は0 +ar"-+... (rは公比) (1) (2) a≠0 のとき -1<r<1 a ならば収束し、 和は 1-r r≦-1, 1≦r ならば発散する
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基本問題自学 ©Akagi 1 次のような無限等比級数の収束、 発散を調べ、収束するときはその 和を求めよ。 (1)初項1,公比 (2)初項2,公比 4 2 次の無限等比級数の収束、 発散を調べ、 収束するときはその和を 求めよ。 (1)1 + 2 + 4 + ･･･ (2) (3)12 + 6√2 +6 +… ― 1 + 1 2 4 (4) -2+2-2 + ･･･ 3 無限等比級数(3+√2)-(2√2-1)+...の公比を求めよ。 また、 この無限等比級数の収束、 発散を調べ、 収束するときはその和を求 めよ。 4 次の無限等比級数が収束するようなxの値の範囲を求めよ。 また、 そのときの和を求めよ。 (1)3+32(x+2) + 3 (x + 2)2 +・・・ (2)(3-x) + x(3-x)+x2(3-x)+･･･
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自学© Akagi (1) 初項が 0 ぢゃなく、公比が1より大きくて1よりちっちゃいから 1 4 収束し、 その和は 笑 1 3 4 √2 1 √2 (2) で、1<√22より <1だから √2 2 2 2 初項が0ぢゃなく、 公比が1より大きくて1よりちっちゃいから 2 収束し、その和は 2√2 = =2√2 (√2+1)=4+ 2√2 1 1 √2-1 √2
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自学©Akagi 2 (1) 初項 1、 公比2>1だから発散する。 笑 (-1 <公比<1) だから収束し、その和は (2)初項 1、 公比- 12/ 1 1 2 2 ° 3 √2 (3) 初項12、 公比 =(-1<公比<1) だから収束し、 その和は 2 12 24 =12+12√2 √2. 2-√2 1 2 (4) 初項-2、 公比-1だから発散する。 圏
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自学© Akagi 3 公比は -(2√2-1)=(3+√2)= (2√2-1)(3-√2) = =1- √2 9-2 > 1 <√2 <2より-2<-√2 <-1で-1<1-√2 <0だからこの 3√√2+2 3+√2 無限等比級数は収束し、 その和は 1-(1-√2) 2
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自学©Akagi 4 (1) 公比が3(x+2) だから収束するには -1 <3(x+2) <1 7 5 すなわち このとき、和は <x< 3 3 3 3 || 1-3(x+2) 3x+5 (2) ○ 初項が0のとき 3-x=0 より x= 3 和は 0 ○ 初項が0ぢゃない、つまりx≠3のとき 公比がxだから 答 -1<x<1 3-x 和は ① 1-x ①はx=3で0になるからx=3のときにも成り立つ。 以上より、x = 3,-1 <x<1のとき収束し、和は 3 X 笑 1-x
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