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Y2 座標平面上に円 C:x2+y^ - 2x + αy = 0(aは定数)が あり, Cは点P (3, 3) を通る。 点PにおけるCの接線をlとし, lとy軸の交点をQする。 (1) αの値を求めよ。 また, Cの中心の座標と半径を求めよ。 (2)lの方程式を求めよ。 また, 点RがC上 (点Pを除く)を動く (配点 25) とき, △PQRの面積の最大値を求めよ。
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令和7年度 総合学力記述模試 ・7月 ~図形と方程式~ 高3 @自学 C:x2 + y2-2x + ay = 0 (1) αの値を求める。 Cは点P(3, 3)を通るから 32+32-2・3+α.3 = 0 Cの中心の座標と半径を求める。 a=-4 より x2+y2-2x -4y = 0 ∴ (x-1)^+(y-2)^=5 よって中心の座標は(1, 2) 半径は√5 ∴a = -4
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(2) lの方程式を求める。 円C:(x-1)^+(y-2)^ =5上の点P(3, 3)における接線 lの方程式は (3-1)(x-1)+(3-2)(y-2)=5 円上の点の 接線公式 :y=-2x+ 9 △PQRの面積の最大値を求める。 円C上の点Rのうち, 点Pからの距離が最大となるとき に△PQRも最大となる。 すなわち, PR=2√5 となるときに最大となる。 PRが円の △PQRの 直径のとき 底辺 PQ = √(3-0)2+(3-9)²=3√5 高さ PR=2√5 だから,△PQRの面積の最大値は 面積 PQ×PR÷2=3√5×2√5÷2 =15 R AP
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