ノートテキスト
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Z5 四面体 OABC があり,辺 OA の中点を D, 線分 BD を 2:1に内分する点をEとする。 また,辺 BC をs:(1-s) (0<s<1) に内分する点をPとし, 線分 OP を t: (1t) (0<t<1) に内分する点を Q とする。 さらに, OA=a, OB=b, OC=cとする。 (1) OE を a, b を用いて表せ。 また, OP を b, c,s を用いて 表せ。 (2)直線 EQ と直線 AC が平行になるとき,s, tの値をそれぞれ 求めよ。 (3)四面体 OABC において, OA = 1, OB = √3, OC = 1, ∠AOB = 30°, ∠BOC = ∠COA=90°とする。 また,(2)の とき, 点 Q から平面 ABC に引いた垂線と平面 ABC の交点 →>> をHとする。 OH を a,b,cを用いて表せ。 (配点 40)
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令和7年度 総合学力記述模試 ・7月 高3@自学 (1) OD = 2 OE OP = A 1 -OA == a 2 ~空間ベクトル~ 2OD + 10B 2 1- 1 1+2 ← =-X- a+-b 32 3 (1-s) OB + sOC s+(1-s) D E [I] = 1 a+ 3 = (1-s)b+ sc 1-3 → .b 分点の位置ベクトル 1-t S P 1-s C B
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(2) (1)より また 1→ OE = 114+116 / OP = (1-5)b+sc 3 3 = AC=OC-OA = -a+c OQ = tOP = (1 − s)tb+ stc ― 1 --- → よって EQ = OQ – OE ———a₁+ +(-13st+1) + stc 3 EQ // AC より EQ=kAC となる実数kが存在するので 1 ·a+(· st+t)b+ stc = −ka + kc 3 3 aとbとcは一次独立だから, 係数を見くらべて == 1 -k, - st+t = 0, st = k 3 3 これらを連立方程式として解くと 2 k = S = t = , , 3 2 3 A ① D ☐☐ ベクトルの平行条件 E t Q C 1-t 1-s P B S
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1 2 → (3) (2)より OP = -b+ c / 0Q = 2 3 点Hは平面 ABC 上にあるから .OP AH=mAB+nAC共面条件 と表せるので = 1 3 1 ·b + 3 OH-OA=m(OB-OA)+n(OC-OA) 整理すると A OH = (1 − m − n)a+mb+nc Q C 57 H P ベクトルの よって B 垂直条件 QH=OH-OQ= (1-m-n)a+(m 1 ·)b+(n⋅ 3 AB ⊥QH, AC⊥QH より ABQH = 0, ACQH = 0 それぞれ内積を計算してみます(ヤリタクナイ...)
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.
a b = |a|| b | cos 30° = 1× √3×
√33
=
2 2
• c = ca=0 (cos /BOC = cos ZCOA = 90°)
○ABQH = 0 より
(b− a)· { (1 − m−n)}ä + (m − } })b + (n − 1)} = 0
(b-a)
.. (1-m-n)a·b+(m
+(n- -)b..
3
− (1 − m−n) | a |² −(m· -)a⋅b-(n.
3
(1-m-n)x+(m
(m-—->)×3+0
2
3
-(1-m-n)x1-(m-
0 = 0
2
2m-n=0
1
○ ACQH = 0 より
::
(1 1-m-n)a+(m·
(1-m-n)a.c+(m
− (1 − m−n) | a |² −(m·
0+0+(n
1/2)x1-0
-)b⋅c+(n
3
1
(n
=
= 0
-
-)a·b-(n.
)×1 −(1−m−n)×1-(m
3m-12n+5=0 ......2
①と②を連立方程式として解くとm=
5
21
-a+ -b +
5 10.
→
5
したがって OH = (1
21
21
21
2 →
5 10-
すなわち
OH
=-a- -b+ C
7 21 21
,
10-
21
n =
1 3
- 0 = 0
☑
3' 2
10
0-2
21
もうむり
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