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高2 数学Ⅱ(複素数と方程式②) 7月進研模試 過去問抜粋 B 4 a, b は実数の定数とする。 整式 P(x) = x3 + (a+3)x2+bx-3a があり,P(1)=4を満たしている。 (1)b をαを用いて表せ。 また, このとき,P(-3) の値を求めよ。 (2) P(x)を因数分解せよ。 (3)方程式 P(x)=0が虚数解をもち,かつ, その虚数解の実部が 整数であるとき,kの値と虚数解をそれぞれ求めよ。 (配点 20 )
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解答例 P(x) = x3 + (a + 3)x2+bx-3a (1) P(1)=4より 13 + (a + 3).12 + b1-3a = 4 このとき よって ∴. b = 2a 图 P(x) = x 3+ (a + 3)x2 +2ax-3a P(-3) = (-3)3+(a+3) (-3)2 +2a・(-3)-3a = 0劄 . (2)(1)よりP(x) =0はx=-3を解にもつので, 因数定理により a +3 1 1 a - 2a-3a| -3 -3 -3a 3a 組立除法 - a 0 P(x) = (x + 3)(x2+ax-a)圏
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(3)(2)より P(x)=(x+3)(x2+ax-a) P(x) = 0より x = -3 または x2 + ax a = 0......① x=-3は実数解だから, ① が虚数解をもてばよいので,①の 判別式をDとするとD<0となればよい。 D=α²-4・1・(-a) < 0 ∴a(a +4) < 0 .. - 4< a <0 ...... (*) a± +4a ここで, 方程式 ①を解くと x= 2 1 √a² + 4a == a± 2 1 (*)よりa2+4a<0だから - 12 --αが実部で √a² + 4a は虚部。 2 2 1 (*)を変形すると -4<a<0⇒ 2>- 0 2 1/120=1 この不等式を満たす整数は1だから -124 このとき, 方程式①の解はx= ∴a = -2圈 -(-2) ± (-2)^+4(-2) 2±√-4 2 2 =1±i圈
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