ページ3:

81. 三角関数と基本性質
Def.1.1 (単位円,正弦、余弦、動径)
オー
右図のような原点0,半径1の円を単位円という
任意のOERに対し、120のとき反時計回り、
Acoのとき時計回りに点X(1,0)から単位円周上を
101だけ進んだ点をPとする
このとき
P
x座標は日に依存して定まる
つまり、Pのx,y座標はAの関数で表され、
その関数をそれぞれ
また、単位円周上の点Aをとる
0
cos
m
sin とかき、余弦関数、正弦関数といろ
(コサイン・サインと読む)
点Aから、
〇20のとき反時計回りに
Qoのとき時計回りに
} 101だけ単位円周上を進めた
半直線Oplor点P)を取ることを単に「OAから〇だけ進める」
といい.
このとき、DAを始線といい、OPを始線DAに対する日の動径という。
Rem.1.1
cos(θ), sin(O)は単に Cosθ,sino とかくことが多い
Cos
ex.1.1.
半径1の半周の長さが元であることを考えると、
(主)
cos=1/2
「
sin1/2
√3
3
cos(一聖)=0, sin(-)=-1
2
1600
と分かる。
cos() sin()

ページ4:

Def.1.2. (一般角)
原点でない 座標平面上の点P(x,y)をとると、
P
Po
点Po(歳・アロー)は単位円周上に来るように
い
引き戻した点である。
このとき、X(1,0)からOだけ進めてPoになるようなは無数にある。
その日の集合の元を動径OPの一般角という。
... (*)
(このノートでは点Pの偏角ともいう)
Rem. 1.2.
(木)から1つ=Oをとったとき、1周は2匹だから、
一般角全体の集合は3Oo+2ntInE2}とかける
Prop.1.3.(周期性) 任意の日ERに対して次が成り立つ、
(i)
cos(+2)
=
coso
(ii)
sin (+2%)
=
sino
opから2に進めた動径もOPより
<proot) P(coso, sing)とする。
(cos (θ+2m), sin (D+2m))=(cosθ,sino)
Rem.1.3.0をQ-2匹におきかえるとcosco-2x)=cos,sin(0.2)=sin日
くり返し用いることで任意のnE2Lに対して
Cos(+2nπ)-coso, sin(θ+2nπ)=sinoが成り立つ
すなわち、任意のOERに対して、
も成立
D
Cos = cos ODとなるOoLo,2)がとれる。
このことから、今後の命題はGE[0.2%)や、も[一π、元)に対して成り立つことを
赤せば十分であることが多い。

ページ5:

Coso=0
(7
これを踏まえて、土
Cor/Def.1.4. (正接)
oel+name}
が成り立つ。
+nt(nEZ)に対して、の関数tanを
sino
tan (0)
=
と定める。これを正接関数といい、タンジェントと読む
Cos o
Rem.1.4. 今後、受
+ π 2 ==
{//tmnex} とかく
また、tan(Q)も単にtanoとかくことが多い。
関数 sin,cos.tanを合わせて三角関数とよぶ
<proot>
Rem. 1.3より、
cos=0(1/22)
の解がO=1である
ことを示せば十分である。定義からCos = cos(部は明らか。
また、一芸0cmのとき、Cosθつか,嘆くO2/2のとき(e)<0となり
11、1/2以外はcoso=0をみたさない
D

ページ6:

Prop. 1.5.
任意のOERCER)(+2)
に対して次が成立
(i)
Cos2O + sino O
〃
1
((cosO),(sinθ)はcoszQ, sin2Oとかくことが多い)
cii)
1+tanza=
Cos2d
(iii)
PC
Cos d, sin α)に対して、
tana は直線OPの傾きに等しい
civ)
tan (a+π)=tana
(√)
<proud)
(i)
sing of
cosza+sined
(i)
Ciin
=
Cosed
Cosa o
Cos'
sina
(iii)
tan α-
Cosα
より明らか。
ils sinos -lscosositan〆は実数全体を取る
P(coso, sino)は単位円周上にあるから、OP=1
OP=Jcosa+sinto
1+tax=1+
より、Op2 = cost Otsinz0-1
(iv) P(cosa,sina)から元進めた点をPとすると、P,O,P'は同一直線上にある
このとき P'(cos(a+π), sin(x+π))でありOPとOP'の傾きは一致するから、
(iii)より
(v) 定義から従う
tan(a+π)=tand
(i) (1) から θの範囲が限定的(たとえばO≦O</V)のとき.
coso, sino,tan日のうち1つが分かれば日が分からずとも
残り2つが求まる
ex.1.2. sind=23(嘆くO)のとき、
0
Sin
cil
tan = m
sin
Cos
Cos
ltan
(ii)
cosoとtanoの値を求めよ。
COS下のとき
Cosoco, tanosoに注意する。
(i) より cos2=1-sim²=1-
=
11/5 81. cos 0 = -
tan
sino
Cos
+

ページ7:

次のPrp.1.6. と Cor.1.7.は全てを覚える必要はない(後述するRen.1.5を参照)
Prop. 1.6. OER, αER\ (+12) 25}
cil sin (-0) - - Sin O,
Cos (-0) = cos O, tan (-α) = - tanα
cli sin(θ+1)=coso
cos(θ+1)=-
=-sino
<proof>
(i)
x(1,0)とする.OXから0,-日だけ進めた点をそれぞれP,P'とする
(ii)
このとき、 P(coso,sino)、P'(cos(-6),sim(-6))でありPとP'はx軸対称
Cos = Cos (0)
したがって
Sin (-0)
-sih0
また、tan (-01=
-tang
SinQ=-sin C-0
cos(0)
Coso
P(coso,smo), Q(cos(+), sin(θ+))とし、
Pのxig軸への垂線の足をPxPg,
Qの
Qx, Qy
とする。
まずOCO砦を考える。
右図より、△OPPx=△OQQy
つまり、
= sin(+)
cos日=1cosθ1=OPx=0Qg=/sin(o+砦)
sino=1sin01 PPx=QQy=100s(0)=-cos(+z^)
若くくれのときも△0px=△o@agより、
cos@=| cos 0/= OPx = 0 Qy = | sin (0+1)| = - sin (0+1)
sino=1sinokPPz=Q@ng=1cos10+1)=cos(+)
たく12/22/2/22匹についても同様の結果が
得られる=0,1/2,た、12/2πについては実際に計算すれば良い
こうして、
OSO2に対して成り立ち、周期性から、
一般の目印に対して成り立つことが示される。
D

ページ8:

Cor. 1.6.
OERとする。((iv)は上手く定義された日とする)
(i)
cos (1-0) = sin
sin (1-0) = cos
.
(ii)
Cos (0+1)=
cos
sin (0+π ) = _Sin O
(iii) cos (π- 0) =
cos 0,
sin (π- 0) = Sin O
(iv)
tan (0+1)=
tan (1-0)=
tan O
'
tan O
tan (0+π) =
tan O
tan (π-0) = - tan O
<proot) Cos のみ示す。
(i) cos (1-0) = cos (-0+1)
(ii)
=
-Sin (-0)
(Ⓒ Prop. 1.5. (ii) )
Sin O
"
cis )
cos (O+T) = cos ((0+1) + 1)
(@Prop 1.5. (ii) )
=
- sin (0+1)
(☺
= - cos O
(iii)
Cos (π-
=
(iv)
=
cos ((-0 + 1) +1)
- Sin (-0 + 1)
= -cos (-0)
= - Cos O
1つ目だけ示す.他も同様
tan (0+2) =
Sin (0+1)
cos (0+1)
"
(i))
(☹)
"
(ii)
(☺
Coso
- sin O
"
(i))
(i))
=
Fan O
D

ページ9:

Rem. 1.5.
次のように考えると良い。
0+1+nt(nez)やこの-1倍で書けるものを空系10+、-など)
O + nπ (n=2)
//
元系(+,-3-など)
とよぶことにする。
Step.1
sin (系)
= ± Cos O
つまり Cos, sin を変える
cos(芸系)
=
I sin
sin (π系)
=
I sin O
つまり Cos, sin はそのまま.
cos (π系)
=
土 cos
Step. 2
後は+か一かを決めるだけ、
ここで日は小さな正の値を取ってみる(嘆くらい)
このとき、
Cosθ、sinoは共に正
つまり、Step.1における左辺が正であれば十負であれば
-
を選択すれば良い。
ex. 1.3.
Cos (+22)
をカンタンにしたい。
Step.l より O+2は空系だから、±smdになることは肘か?
Step.2に従って、を小さくとり、2だけ進める
(つまり90°+半周進める)
と、
右図の点のx座標が
cos(D+2/2)だから正。よって十を選べば良い。
したがって
cos(o+/12/2)=sino
P(cos (0+2), sin (0+1))
④
実際、cos(+)=cos(O+号)+)
= cos(0+2)
Cor.1.6. ciis
(ii) )
=-(-sinė)
(Prop. /.S. (a))
= sin O
.
tanに関しては傾きを考えると良い
どうしても苦手な人は後に扱う加法定理を使えば良い

ページ10:

82. 三角比
の章では三角関数を三角形と関連付けるための準備を行う。
この
通常の角度の単位はとりあえず[度]とかく.
Def.2.1.
XERとする関数をF(a)
x =
・αによって定め、
°゜°=f(x)とする。
Rem.2.1.
(-a)=f(x)=
πC
180
α=
-fcx)=
n-
ぴより、
(の)はーぴとかける。
y
では任意の△ABCを考え、∠A=X[度]とする。
内角をとるから.0≦x≦180とする。
右図のように座標をとり、AB,ACを半直線と考える。
α°
(単位円との交点はそれぞれB', 'とし、B'(1,0)である)
つの[戻]
B'
B
このとき、=2匹×
α
π
=
360
=α = x より
80
(cos de, sin a°)と書ける.
〆は元々∠Aの通常の角度を表すことを考えると、[度は「゜」と同一視して、
今後は[度)も「゜」とかく
また、「○」も文字に含めて書くことが多い(例えば、0=30°と置く)
ex
cos30°=cos (30)=c=
√3
円周角30に対する弧長になっている
ことが分かる。
T30°
これは逆にど
という角度であるとも言える。
Cos 30°=
それを強調したいときは単位[rad]を用いて[red)とかく.
ラジアン

ページ11:

単位[゜°]による角度の表現方法を度数法
単位[md]
Prop.2.2.
弧度法という
0°O90°とする。
右図のような1つの鋭角が日である直角三角形に対し、
火
y
y
はによって定まり、
r
x
=
Coso
sino
で与えられる。
x
=
tano
Sproots
日が決まるとき、仮定のような任意の2つの直角三角形ABC,∠ABC
に対して、 ∠ABCCA'B'Cより、辺の比は一致する
とくに∠A'B'C'を右図のように
A'=ノにして単位円に当てはめると、
A'B' cos,B'C'=sinθより
C
Cl (cord, sinB)
r
y
es
sino
x
coso
D
=
=
Cos o
r
A
B
A Cos B'
sino
sin o
=
x
Sind
coso
tan
として比がによって定まる。
1=rsino,x=rcosoはすぐ言える(覚える)ようにした方が良い。
Rem.2.2. y=
このように三角形の辺の比に対応することから、sin,cos,tanは合わせて
三角比ともよばれる。
D

ページ12:

三角形の内角に対して三角比を用いることで様々な三角形に関する
公式が得られる
ここからは三角形の内角を扱うから、0°/0≦180°とすることが多い
このハンイで特に三角比の値がすぐに求まる日を有名角とよぶ
次で与えられる(これらはすぐに求められるようにしよう)
(0) (+) (+) (1) (1) (11) (27) (FR) (π)
[rad]
0° 30°
45°
60° 90° 120°135° 150° 180°
sino
○
(
0
③
Cos o
1
tano
0
√3
1
0
2
SX
-53
-1
一
-
-
-
|-
D
有名角の強度法 度数法はすぐ変換できるようにしよう。

ページ13:

83 正弦定理・余弦定理
三角形の辺と角(に対する三角比)に関する重要な定理を扱う
Lem/Det 3.1.(外接円・外心)
その円を外接円とよび、外接円の中心を外心という
任意の三角形に対し、3つの頂点全てを通るような円が存在し、ただ1つに定まる
C
<prms) 平面上に任意に異なる3点A,B,Cを
+
Oはl上かっm上にあり、垂直二等分線の性質かる。
同一直線上にないようにとる(つなげれば∠ABC)
線分ACとBCの垂直二等分線limを引く
このとき、ACXBCよりlxmà必ず友が存在し、0とする。
m
B
0
il
AD=COかつBO=Coが成立
つまり中心、半径AOの円Oを書くことで点A,B,Cを通る円が書ける。
また、中心をずらせばlorm上に乗らないから、中心は〇に限定される。
半径を変えれば3点すべて円周上に乗らないから3点を通る円は円〇のみである。
Thm.3.2. (正弦定理) △ABCをとる。
BC=a, ∠A=のとし、外接円の半径をRとする。
このとき次が成立する
a
2
2R
sin d
Rem.3.1. したがって
右図のとき次が成立する
b
C
a
=
Sin a
sine
sin 8
A
A
Ad
C
b
a
C
ed
'B
Ha
B
D

ページ14:

<proof>
線分BCによって円を分割して見るとき、
BC
0を含む側の弧をBC、そうでない側の弧を
BCとする。
まずAがB上にあるときを示す
la
2R/
0
A
'B
線分CA'がOを通るように円周上の点A'をとる
このとき円周角の定理より、∠A'=α
A'
Prop. 2.2. £%
a
sino=
2R
a
ce.
=
2Rが成り立つ
sina
次にAがBC上にあるときを示す
同様に点Aをとる。
四角形A'BACは円に内接し、向かい合う角の和は
180°より、LA'C=∠BA'C)=180°-αである。
'BC'
A
2R
したがって、
180°-a
B
a
sin(180°-α)
=
2R
A'
a
=
Sin α
2Rを得る
sin(180°-α) sino より、
Rem.3.2.
Rem.3.1. より、右図の○,,D,⑩の位置関係の
情報が3つ分かれば残り1つも分かる
とくに、ex.1.2.の要領で行うことで〇、口が具体的に
求まらずとも0.口の三角比(sin O, CosO, tan○のどれか)
が分かれば十分である
右図のxを求める。 正弦定理より、
ex.3.1.
2
3
3
Sin 45°
Sin 600
Ee. x =
5312
5=56
x
3
+
60°
45

ページ15:

Prop.3.3.
右図の△ABCにおいて、
<
as
bsc
<=
aspsi
a
<proot>
正弦定理より、
=
b
Sin α
asb (
sinds sin
Sing
sing
b
a
a
A
C
ここでの
asp
とする。
X290°のときa+β2180となり矛盾
L
< 180° F¼ ß < 180°-α
したがって右図のようになり、 sind=sinβ
α490°
.. a≤ p < 180°-α
a
LATα
こうしてassinas sinβが成立
また、XBとする。先のギロンを
x>>3.
ap
入れかんて行うと、B2の<180-β
したがって sinpcsina
IhL2, X>B sin α >
> sing c. 4+1 Ex-2 sin ass
assing
>>
aspが成立
."
Sin α sinf
G
α ≤
≤ B
同様に、
bsc ca simps sin r
E-
≤ 8 1.
asb 4
x=8
と合わせて結論を得る
D
Rem. 3.3.
正弦定理より、a:bic
=
sin A: sin B: sin C € A'I J3.
-sine
sin α
Sin (180°-α)

ページ16:

Thm.3.4.(余弦定理) △ABCに対して、
A,B,Cの対辺の長さをa,b,c,∠A=のとする。
このとき次が成立する
a² = b² + c² -2bc cos α
<proof >
<B<90°のとき
b
C
a
α
A
C
'B
C
右図のようにCからABに下ろした垂線の足をH
とすると、(このとき点Hは線分AB上にある)
AH=bcosa,BH-c-bcosa
b
a
c-bcosa
α
三平方の定理より、
A
bcosa H
B
b² - (b cos x)²= CH² = a²-(c-boosα)²
a2-c+2bccosa-b2cos2d
両辺展開して、62-62 cos2d
-
整理して、
a=b+c-2bc
cosa
次に<B>90°のとき、
右図のようにCからABに下ろした垂線の足をH
b
と
a
-bcord-c
とすると、(
このとき点Hは線分ABの外にある)
AH=bcosa,BH-bcosa-c
三平方の定理より、
A
C
B
H
bcosa.
2
62-(bcosaj = CH2-a2-(bcosa-c)
を
Batiste (= a² = b²+c² - 2 bc cos α €123.
∠B=90°のときはC=bcosa より
b2+c2-2bccosa=ba+b2cos2d-2b2cosza=ball-cosea)
い
b² sinα (Prop. 1.4. cis)
2
= a
D

ページ17:

Rem.3.4.
LX=90°のとき、
つまり、余弦定理は三平方の定理の一般化と言える
cosx=0より
az=b2c2を得る。
また、右図の
○のうち.
3つの情報が分かれば、残り1つも求まる
▲
ex. 3.2. 右図において、Xを求める。
余弦定理より、52=32+コピ2-2.3.x・cos60°
x-3x-16=0をといて。
60°
x
3
3±173
2=
2
5
3+573
x>0より、 x=
2
ex. 3.3.
sina: Sing: suv=3:5:7のとき、
cosaを求めよ
Rem.3.3. より、a:b:c=3:5:7
b
a
kooを用いてa=3k,b=sk,c=7kとかける。
余弦定理F. Cosa=
(54)+(7k)-(3k)²
2.5k.7k
13
P
C
+α,
ベクトルを知っていると、余弦定理を忘れたときカンタンな式変形で導出できる
a²= | bc |² = 1c-b1²
E
=
= 1 c 1² - 2 (b². c) + 15'12
b
a
=
= 15|12| cos d
=62+c2-2bccos d
Ja
C
B

ページ18:

Cor.3.5.
右図のDABCにおいて、(0°〆く180°とする)
b
Ci7
αが鋭角 a2cbc2
a
(ii)
x xX1" & PA (7) α² = b²+c²
a
・B
C
(iii)
αが鈍角 Q262462
<prof>余弦定理より、
cos α
b²+c²-a²
2bc
←コレも覚えておくと良いかも
(*)
ci)
0°の<90°(2)
cos a o
(=)
b²+c² - a² > o
a2c62+62
cii)
α=90°
(=)
cos α = 6
az
22=62+c2
ciii) 90° cac 180° (3)
cos α <0
a2b2+c2
この(水)はぴく〆く180だから成り立っている。
-40°<x<90°のです。
Cos do だが 〆く0℃となり得る
この
の証明も.cosαの符号でも鋭角・直角・鈍角を判別できる
D

ページ19:

84.
三角形の面積公式や三角比の応用
まず、三角比を用いた三角形の面積公式を与える
Thm.4.1.
右図の△ABCに対し、面積をSとする。
b
このとき、
S=1/12bcsina
と
A
B
2
A
<proof>
まず〆c90のときを示す。
-bsino
右図より、S=1/c.(bsina)=1/2bcsina
b
2
X=90°のときは明らか。
A
H
'B
次に〆つ90°のときを示す。
右図のようになり、
b Sin (ito"-a)
2
S = 1. c. (b sin (180° -α))
H
A
B
bc sinα (
sin (180-0)=sino
Desina)
次は三角比を用いないが知っておくべき
Lem/Def.4.2. (内権円・内心)
任意の三角形に対して、すべての辺に接する円が存在し、ただ一つに定まる
その円を内接円といい、その中心を内心といろ

ページ20:

<proof>
角の二等分線l,mを右図のように引く、
このとき、角の二等分線の性質から、例えば
又上の点Pに対し、(点PとABのキャリ)=(点PとACのキョリ)
が成り立つ内接円が存在するとしたら少なくとも
lかつm上に中心(内心)がいる必要があり、工に限る
このIが内心になることを示せば良い、
A
A
m
l
Iから右上図のように垂線を引く
直角三角形の合同条件より AB'△ACI
同様に、ACBI=ACA'Iより、B'I=A'I
ふA'I=B'I=Iより中心工、半径A
✰ B'I = C'I
の円が内接円となる
D
Prop. 4.3.
右図の∠ABCに対し、内接円の半径をんとする。
△ABCの面積をSとすると、
S=1/12r(a+b+c)
a
<proof>
S=△ABI+BCIACAI
=
12/2rc+/ra+/rb
=
1/2rratbtc)
A
B
B

ページ21:

ex.4.1.
右図の内接円の半径rを求めたい
C
[方針] 余弦定理→cosa→sina→
Thm.4.1. & Prop. 4.3. 2"
面積の等式(rのみの式)
5
ex. 3.3. より、
cosd=1
13
α
A
B
sined=1-cosd=
27
353
..
T96
sinaつ口より、 sin oe
14
Thm. 4.1. & Prop. 4.3. Fl. = +(3+5+7) = DABC=
1.5.1.
2
(4
これを解くと、
2
ex.4.1.の流れを使えば、3辺の長さから三角形の面積が求まる。
次のように定式化できる
Thm.4.4. (ヘロンの公式)
3辺の長さがabicの三角形において、
面積をSとし、
S=
atbtc とすると、
2
S = fs(s-a)(s-b)es-c)
が成立
<proof>
右図において、
余弦定理より cosa=
b²+c²-a²
sind so より
2bc
sin d
=
ST- Cos²α
A
=
26c
2a²b² + 26'c²+ 2c'a² -a4-b4c4.
Thm.4.1. より S=1/bcsina
=
=
...)
と
b
a
Ja
C
B

ページ22:

また、s(s-a)(s-b)(5-c)
a-(b-c)
9+(6-0)
a+b+c
=
b+c-a a+c-b
atb-c
2
2
2
2
= (bes-a^) (a² - (bcf)
こ
(b²+ 2bc+c²-a²) (a²- b²+2bc-c²)
=
/o (2006+26+2ca-a4-64-c4) となり、S=Js(s-al(s-b)(s-c)を得る。
では、これまでの知識を用いた応用問題をいくつか紹介する。
ex.4.2. 右図のとき. sinp,BCを求めよ。
[解] 余弦定理より、
Bc² = (1+√2)² +22 - 2. (H√2) · 2 co≤ 60°
= 5
BC より BC=55
#
2
また、正弦定理より、
sing=
Sin 60°
sinp
2
600
A
14+52
B

ページ23:

ex.4.3,
右図のように円に内接する四角形ABCD
に対して、AB=5,BC=3,CD=3,
cosp=-1 とする.
(1) ADを求めよ。 (2) 四角形ABCDの面積を求めよ.
[[方針] ACが求まれば
LD=180-P,DC=3,ACの3つの情報が求まり、
ADと合わせて余弦定理の位置関係をみたすから、
ADが求まりそう。
[解](1)余弦定理より、
AC2=53+32-2.5.3005
ACより、AC-250
180°-8
ここで∠D=180-1 より、
余弦定理より、
=
40
A
180°-1
2√10
B
A
5
B
cos <D= cos (180° -p) = -cosp=s
(2510)²= AD² + 3² - 2. AD. 3 cos (180°-p) €2112. AD = -5
31
ADよりAD=24
(2)
1 (14)
5
AR,BC, B
AD,DC,20
sin² p = 1 - cos² p = 24
また、Sin(180°-β)
=
Thm.4.1. を用いて、
25
'
#
Thm.4.1
△ABC
→△ADC
simp> 0 F1. sing = 256
sinp=2
(四角形ABCD)=△ABC+ADC
=1/2.5.3.2+1/2.2.3.2
16856
25
31
15
四角形ABCDが求まる
C

ページ24:

ex.4.4.
四角形ABCDに対して、AC=u, BD=N.
D
0
<DPC=0とする。このとき、
(四角形ABCD)=1/2
un sinoが成り立つことを示せ
[解] PA=a.PB=6.PC-c、PD=dとする.
(四角形ABCD)-1/2absino+
1/21bc sin(180°-日)
++ cd sin 0 + + da sin (180° - 0)
P
v
(sin(180°-白)=sino)
-
1/2sino Cab+ad+cbtcd)
1/2(a+c) (b+a) sin
=
1/2un sino
=U =V
最後に有名な定理を紹介する。
Thm.4.5. (中線定理)右図の△ABCに対して、点MがBCの中点のとき、
S
七
X
S2+t2=20x2ぴ2)
B
M
n
Rem ∠AMC=90°のとき、三平方の定理から、
t² = x²+u², §²= x²+4² ₤1%.
辺々足せばこの式が成り立つことはすぐに分かる。
つまり、∠AMCが一般のぴく曰く180であっても常に成り立つことを意味している。
<paif> <AMC-Dとする。余弦定理より、
2222xm coso
s2=x2+m² + 2xn cos (180°-0)
t
= - Cos O
=
xtu²-2xucoso
180°-0
B
-n
辺々足すと、St2=2(x+2)を得る
C
D
D
B

ページ25:

ここまでのまとめ(三角比)
9
三角比(三角関数)の定義・性質
傾tan (=tena°)
Cost+sin20=1
Sin
sino
tang=
Tos
·P (coso, sino)
(cos de, sino)
→
一単位円
I
Cos
E
1+ tan² = 60530
。
三角比(三角関数)の変換
笠系
→
sincos 入れかえ
よく使ったのは、
元系
->
"
そのまま、
Sin (180°-日)=
Cos(180°-日)=
sino
O
-cos
後は小さくをとって符号を決定
○三角比の定理
tan
a
正弦定理:
F
sina
2R, sina
→正弦定理チャンス
余弦定理 : a2= b2+c^2-2bccosa
"
10
→余弦定理チャンス
○面積公式
S=1/12bc sina
b
simp
=
asbsc
asper ]
·
A
C
be 「αが鋭角bc2
のが直角 a2=62+c2
α "a² > 6² + c²
a
PA
S=1/12rca+b+c)
S.Js(s-as-b)cs-c)
atbtc
S=
(ヘロン)
2
B

ページ26:

55. 三角関数のグラフ、方程式・不等式
この章では改めてから定まる関数 sino, coso, tano として、
グラフの根形を知り、三角関数を含むカンタンな方程式・不等式を扱う、
1で扱ったことを復習しておく。
傾: tano
(P(coso, sino)
0
左図のようにSERに対して、Cosθ,sinoが定まり、
とくに≠+1=1+ + Nπ (n=22) 104712.
tan[]
Sin
coroが定まる。
sin (-0)=-sino
Sin10+2π)=sino
Ci
cos ( - 0) = cos
C")
Cos (O+2匹)
=
cos O
tan (-0)=-tan
sin² 0 + cos² 0 = 1
tan (+)
=
tano (+2)
(iii)
.
1+taneo
Cos20
'
-1≤ sin 0 ≤1, -1 = cos 0 ≤ 1,
tanは実数全体をとる

ページ27:

まず関数としての一般論を述べる.
Def.5.1. (偶関数、奇関数、周期関数)
関数本とその定義域ICRに対して、
.
手が偶関数
任意のXIに対して、f(x)=f(x)
fが奇関数
任意のXEに対して、f(x)=f(x)
手が周期関数「任意のxIに対して、fox+p=f」となるような
定数ptが存在する
このノートはこちらを使う
この定数のうち最小の正の定数を基本周期
or
単に周期という。
y=f1x1 +
+
Rem.5.1. これはグラフにすると、
・手が偶関数のとき. y=for のグラフは y軸対称
・手が奇関数のとき、
原点対称
キが周期の周期間数のとき、y=f(x)のグラフは、周期中で同じ形がくり返される
Prop. 5.2.
関数 sin, cosの定義域をR、tanの
・定義域をR\(+)とすて
このとき、以下が成立する
since+p=smo
cio sin, tan
は奇関数、cosは偶関数
(ii)
sin, cos
は周期2匹の
周期関数、
tan
は周期の
〃
(proof)
(i)先の復習ci)より明らか。
Cii)
"/
ciis より Def.5.1.のとして、sin.cosは2匹、tonは兀がとれる
後は
はこれが基本周期となることを背理法で示す。

ページ28:

Sin のみ示す.つまり、「任意のQcRに対してsin(O+p')=sin日」となる定数p'E(0.2)
が存在すると仮定する。
では9=
・1/1のとき、
sin (+1)=sin^2=1が成立するはずである。
だが、sinの定義から、Ocpc2とより、sin(切り)<)となり矛盾 sin(サ
2匹が基本周期である
○グラフの概形
これまでの性質をふまえ、実際に三角関数のグラフを見てみる
単位円上の点Pのx座標のふるまいを考えてみると、以下のようなグうつになるのも
納得できるだろう。
・y= sin(OCR)
(-л, 0)
(赤)
(1)
sin
D
-2
4
8
(0,0)
(л, 0)
(2π, 0)
(3π, 0)
25
(-1)
水
1
・原点対称、周期みが見られる。
-15751
•
兀ずつ増加減少をくり返している
25
とくに一匹で単調増加し、
yはに口をわたる

ページ29:

y
= Cos010ER)
y
(0,1)
( - )
-2
-1
(-,-1)
来
・y軸対称、周期2が見られる。
.
1y1
( )
3
(0)
(x,-1)
22
(2, 1)
B
(0)
O
+
.
.
とくにOSOSTで単調減少し、
元ずつ増加減少をくり返している
yはC-1口をわたる
y=
-
Cos①は y=sinoのグラフを火軸方向に
(水)に関して、説明する
まず一般に次が成立する
Prp. 5.3. P.8 ERは定数とする.
・芝だけ平行移動させたものである
グラフ y-g=f(x-p)はグラフ y=Fourを
2軸方向にP,特軸方向にgだけ平行移動させたものである。
\(木)
<proof
Ex.9
を参照
y=
=Cos = sin(+)
= sin(o-(一般))より、
Pop.S.3. を用いると(水)が言える。
D

ページ30:

-2
y=
10--1
=tanO(OcR\(+2))
10
P
(0, 0)
2
(л, 0)
4
0 =
赤線がy=tan
・原点対称、周期が見られる
yは実数全体をとり、
紫点線にスが近付くほど
yの値が限りなく大きくor小さく
なっている。
とくに一嘆く曰くにおいて、
yは単調増加し、Rをわたる
赤線と紫点線が交わることは
なく、グラフがある直線に
限りなく近付くふるまいをするとき
その直線をグラフの漸近線
-2-
3π
TC
π
という。
つまり、直線=芝+hicCho)
は y=tanoの漸近線
である.

ページ31:

Prop. 5.4.
グラフ yeaf(x)は y=f(x)をx軸方向にk倍、y軸方向にの倍
したものである。
<proot> y=f(x)をx軸方向にk倍、y軸方向にの体したグラフは、
Gi={(kx,ag)/ gf}とかける。
C
この集合がDi={(s,t)1t=af()}に一致すれば良い
GCDを示す. (kx,ag) EGをとる.このとき、y=fが成立
..
GCD
a f (k²) = a f(x) = ay Fl. (kx, ay) ED
DCGを示す。 (s,t) EDをとる。このとき、tea
・α)à)が成立
xo=kx,y=1とすると、S=kxo,t=anyoかつnfo=f(x)が成立
. (S. t) G
Cor.S.S.
したがってDCG
y=asin(k(o-p))+q グラフy=shok
18 sin
x軸方向に安倍、y軸方向にa倍したものを
い
=
2軸方向にP、y軸方向にgだけ平行移動したグラフである
<proof> yesinoを上記の倍率にすると、
Pmp.S.4 より、yasin(ko)
このグラフに対して、上記の平行移動を行うと、Pmp.S.3.より、
y-q=asin(kco-p))
Rem.S.2. このグラフは周期の周期間数である
D
D
また、この命題はcos,tanでも同様(tanは周期)

ページ32:

ex.5.1.
y=2sin(20-77)のグラフをかけ、
[解] y=2sin(21日号))より、y=sino を
北軸:
y軸曲: x2
して,
x軸:+晋したものをかけば良い(実際に手書きするときは分かりやすい点を
いつかプロットしょう)
(2)(2)
(1) J= sino
AAA
(0,-53)
0
(
20
y=2sin20
y=2sin(210-)

ページ33:

ex. 5.2.
sino=1/12 (12/22)をとけ、
では次に三角関数を含む基本的な方程式・不等式を扱う、
0
笠の動程
T
[解]これは、「メ(1,0)としたとき、
150°
OXから1~2匹だけ動したとき、
sin010の動径と単位円との交点の座標)が
1/12の母をすべて過不足なく)答えよ」ということである。
y
□から進めていくと、まず日=sin = 1/2
n=sino
をとる。そこから2匹までは y=sino=1/12にはならない
ことは円やsinのグラフを書けば分かる。
1
交点はここだけ、
y=1/
+
2
以上より、0=1/
21
H
ここまで長々と書いたが解答するときは答えだけで良い、
また今回は12/2だから有名角である(150)が見つかったが
そうでないときは基本求まらない(だからそのような日を求めさせることはない)
ex. 5.3. Sin 0 ==—=—= ( 1 ) < 0 )
元
2
[解]今度は母の動程を一匹からまで
進めたとき、どこで sino=1/2になるか
を調べよう。
'
6
'
6
#
'
»)
2x++
T
ex. 5.4.
sin = 1/2 (DOR)
[解] θが一般のときは、周期性よりOSO2で解α,Bを見つけ
と答えれば良い。
X+2nr, p+2nr (162)
今回は音が0日における解だから、+2n+n(ne2)
#

ページ34:

を制限した場合から紹介したが、一般の場合を求めてから、
Oの制限との共通部分を出す方が論理的には読みやすいかもしれない。
例えば sino=1/2(OS3)のとき、一般解は/2/+2mm,
より、
<
+2をみたすれは
6
f < n = 1/2 81. n = 1 nat
{+27 (12)
〇の定義域
CAZZ = +2.1. R= 13π
また、多くをみたすれば
- ten = 1/2 81. n = 0, 1 not
このとき = //+2=
1
6
↓
↓
3π
Ex
Bπ
一般解
Faber, O= Er, Br, In
6
#
ただ、直観的に解がどこにあるかを単位円など使って導出できるようにすることをオススメする
9
次は不等式を考えてみる。
笠の動徨
動
ex. 5.5.
>
sin1/12 (11/22)
の動径を1/2から 3/31 まで動かしたときに単位円との交点の
g座標(sinθ)が1/2より大きいを考えれば良い、
↑
豊からスタートしたとき sinD>/1/2をみたし、8=1/27のところでsino=1/2になる
進めていくと、Q=
= fπ 2" #F= sin O =
=1/2になり 3/31までsin
1-
8つをみたす
→解はA曰く、くく
ISOLER, INCOLAT
6
4

ページ35:

同様に一般解を考えて定義域の共通部分を求める。
sin OCA DE} (+ane, fπ-SAE) CR | nez}
2
ヒ
や蟹集合
定義域
0
π
2
TC
2π
3匹
4π
13
-λ
25π
6
↓
<
元
ex. 5.6.
tan (1)
02
Oの動程を昔から多まで進めたときの動径の傾き(tanθ)
が
L
ST
以上となる日を求めれば良い。
πL
系の所は定義されないことに注意すると、
2
<
<
3
6
1
←
30

ページ36:

ex.5.7.
これを解くと、
3
七を戻して
sin(20-17)=1/26 (0:くに)
?
t=20-号とする。このとき、sintz.
□く
≤20-
1/2(1/2)に帰着され、
1520-3137 6. 1
2
H

ページ37:

36. 三角関数の諸定理
三角関数に関して成り立つ重要な定理を与える。
Thm.6.1. (加法定理)の、PCR、以下が成立する
=
sin a cosp
sin(x-3)=sina cos
+ Cos a sin
cosp-
sin(x+p)
Cos(x+8)
=
Cos x Cos
cosp
-
sinp
Cos a sin
sonp
sino sinp
Cos (α-p) = cos & cosp + sin a sing
tana+ tanp
(a+p)=T-tanatan
tan
tana-tanp
tan (a-()
+ tanatan B
Ren.6.1. この6つの式を合わせて加法定理とよばれる。
これを用いると、 Pop.1.5, Cor.1.6.も例えば
Cos (D-1)=coscos/m/+sinsink=sin日のように計算できる
<prof) まず次のように点を定める。
A(cosd,sina)
P'Cosp, simp)
A'(cosc-a), sin(-a))
0
そして、OA', OP'をのだけ進めた点をX.Pとする。
このとき、X(10),P(coscatpi, sincatpi)とかける。
点の取り方から A'P'=XPが成立する.
A
A'(cosa, -sina), P'ccosp, sin()より、
A'piz=Ccost-cospl+(-sina-simp)
2
casad - 2 cas a cos pt cosap+sinea+2sinasinp+ simp
2-2(cosa cap-sina sinp)
(cos² + sin³ 0=1=
用いた)

ページ38:

xp²= (cos(a+p)- 1)² + (sin(a+ß) - 0)²
=
=
Cos² (app) - 2 cos (αrp) +1 + sin (α+p)
2-2cos (at)
Apr² = Xp² kl. cos ca+p) = cosa cos,
これを基に残りも示していく
cos (a-3)= cos(x+(-p)) = cos α cos
1x sing
=
Cos α cos
cosß
+
sin siv
- sin a sin
:F-
asing
=(-3).
- sin α sin
Sin (α+ ß) = cos (11 - (α+p) = cos ( (= -1 -α) - p)
=
2
cos (1) - α) cosp + sin (= -α) sing
Sinx cosp+ cos α
‹ sing
(-P)
sin (α- p) = sin ( a +(- p)) = sin α cos (-p) + cos α sin (-
= sin a cosß - cosα sing
sin(x+3)
sina cos +Cosα sing
=
=
tan (a+p) - Sharp)
I
Sind sinß
cos acos - sin a sin
sind o
α cosp+ cos α sing
cos α co
cosp
tan α + tan (-)
T-tan α tan (-3)
|-
Cosα Cosp
tan
• (x-3)
=
tan (a+(-)) =
ex. 6.
Sin 15°
= Sin
=
Sin
=
=
I
sin(-p)
1 - tan a tang
tand-tanß
π+ tan a tan &
(一)
Sin I cos I - Cos I sin T
1.1.1.1.1.1
56-2
-
=
2
4
と有名角でない角も計算可能になる。
が成立する。
· (ean α + ean
camp)
D

ページ39:

Cor.6.2(2倍角・半角の公式) XER.このとき、以下が成立
sin 20
=
2 sin a cos o
cos2a
=
Cost d-Sinza
=
(i)
1-2sin²d=2cusa-1
tan2d=
2tand
T-tanza
sin²
1 - cos α
=
2
cii>
cos2d
I+ cos α
=
2
2
tana21-cosa
+ cosa
Rem.6.2 cioは2倍角の公式、cioは半角の公式
証明を読めば分かるが覚えるほどのものではない。
とよばれる
しかし、右辺の形を見たときに左辺が見える力は役に立つ
また、半角の公式はsimaQ=1-cos2Dで覚えた方がよい。
2
<proof>
cis
加法定理を用いれば良い。
sin 20= sin(α+α)
=
sin x cos x + Cosα sin α
=
Co) 20,tan20も同様
2sinacosx
=
cio
Cos2.
2
1-2 sin² 0
より、
Sin² = 1-cosα
ciio
cos d
A
同様に
2
Cos & cis 2 cos 2 x -| F|
=
tanimax=
Sinza
=
Cost A
l-Cos a
1+ cos α
+ asa
2

ページ40:

ex.6.2.
同様に3倍角以降も与えられる.(cos3aはEx.10参照)
Sin 3Q
=
Sin (2x+α) Sin 2 α cos x + cos 2x sind
=
(2 sin x cosα) Cosα
+
(1-2 sin³ α) sind
=
2 sina (1-sin³α) + sind - 2 sin³ a
=
3 sin α- 4 sin³ α
次に、Sin同士やCos同士の和(差)を積に、
sin cos
の積を和(差)に変える公式を与える
覚える必要はない
Thm.6.3.1和積積和の公式)
X,
PERとする
このとき以下が成立する。
Ci7
sin α+ sin
sin α- sing
Cos α +
Cosß
cos α- cos
Cosß
Sina sin f
=
=
=
= -
(ii)
Sin cos
=
Cos Cos
=
<proof> cis
=
-
2 sin x + cos α-B
2
2
a+f
cos
Sin -
2
Cos
2
a+pas a-p
2
2
·2 sin at sin α-p
2
- // { cos ca+p) - coscα-p}
sin (a+p) + sin (α-
ca-p
// | Cos (α+p) + cos (α-
2
A:= x+p, B:= a+ = +32. α= A+B, ß=A-B 2-3:173.
2
Sin α + sing sin (A+B) + sin (A-B)
=
(sin A cas B
+
Cos A sin B )
+ (Sin A cos B
cos A sin B)
=
2 sin A cos B = 2 sin ate cos at

ページ41:

残りも同様に示される(Ex.11参照)
Ciis
・cos(d+p)
- Cos (α-
P
=-2sina sin
P
より、
sin a sinp=-1/2)cos(a+p)-cosla-p)}を得る。
cos(x+p)+ cos(a-p=2cosdcospより、
costcosp=1/23 coscatpitcosco-
を得る。
=
X-814
2 sind cospより、
sin (a+p)+ sin (a-p)=
sin a cos
· P
=
1/21sin Cat() + sin
・Ca-p)}を得る。
D
Rem. 6.3.
cio を和積の公式, cii)を積和の公式とよぶ
この公式は数工で要求されることは少ないが、数Ⅱの積分で頻出する
(積分は積より和の方が扱いやすい)
角が一致する sinとcosの和を
1つのsinやcosにまとめることができる。
Thm.6.4 (sin, cosの合成)
a,
6ER\30}, OERとする。
このとき、次が成立
ci)
asino+bcoso
=
rsin(+α)
Cos X =
の形で書ける。ただし、r=fatboとし、のは
をみたすものとする。(つまり(a,b)の偏角(Def.1.2))
sind=
cii)
asino+bcoso
=
rus(o-a)
b
の形で書ける。ただし、raftbzとし、のは
をみたすものとする。(つまり、(b,a)の偏角)
sina-
a
a

ページ42:

<proof) cis
asino+
bcoso
b
= Ja²+62
Coso+
a
sino
Ja2+62
10362
=
r ( +
cos+fsing)
(r=Jaztbaとした
ここで
(++(笑)-
=
1より点(1)は単位円周上にある
つまり、
(cosa, sinα)=(z+)なる〆ERがとれる(〆EC-πッス)なら一意)
..
こののを用いると
asino+bcoso
=
r(sind cosO+
Cos d sino
0)
=
r sin (Ota)
(加法定理)
とかける。
cii)
r=Jath2として
asino
+
bcoso
=
Coso+
r(b Co. O + a sin o
o)
ここで同様に点(1台)は単位円周上にあり、
(cos
cosd, sina) = ()なるdeRが存在する
この〆を用いて、
asinθ+buoso
=
r(los o Cosθ+ sindsinθ)
r cos (0-α) (加法定理)とかける。
ex. 6.3.
S2 sino
-
56 cos
を
Sin
or
Cosで合成したいとする
(i) より J2 sinO-56 cosa=
252 sin(+α)
52
cosd=
=
ただし、αは
252
sina=
-56
=-
をみたすものであればよい
A.
例えばd=-砦であり(単位円かけば分かる)
ht'l L2 SI sin O- 56 cos 0 = 252 sin (0-1)

ページ43:

ciis F¼ 52 sin 0-56 cos O
= 25 cos CO-α)
cosd=
-56
ただし、〆は
252
2
をみたせばより、(例えばの一号)
sind =
√2
-
26
1/
√2 sin 0-56 Co. O
= 252 cos (0-1)
正しいかどうかは合成したものを加法定理で戻せば確認できる。
Rem.
86.で様々な公式を紹介してきたが完全に暗記してほしいのは
加法定理のみである.それ以外は頭の中で導出できる
(個人的には、倍角・半角も暗記した方が良いと思う)
ここまでの定理を用いていくつか問題を解く。
ex. 6.4. 方程式 sin20=coso (o≧≦)を解く。
[解] 借角の公式を用いて
〇のハンイから、
Cor 0 = 0 net
sin = 1/12 のとき
2sino coso
Cos (2sino
Coso=0
0 = 11,
,
or
-
=
Cos o
1)
=
0
sino=1/2
+

ページ44:

ex.6.5. 関数y=25sinx+cos2x (Osxs)
の最大値・最小値(とそれを達成するxのすべて)を求めよ
[解]倍角の公式より、y=2.2 sinx+(1-2sinox)
=-2sin2x+25sinx+1
t
ta sinx
tasinxx
とする。
XE[O,大]を動かすとき、
+
七は右図のように [O,1の間を増減する。
y=-2t+25t+1=-2(t-1)+2
より、七=0のとき最小値1をとり、
t=0となるのはx=0,匹のとき
Max.
t=
以上より、
t =
のとき最大値2をとり、
min.→
=店となるのはx=
x=0,大のとき、最小値1
π
3
のとき
/
x=1のとき最大値2
0
t=1/1
7x
y=-2+2+2+1

ページ45:

ここまでのまとめ(三角関数)
グラフ
M = sin x
y=
=
M = tan x
...
sin(x)= sin x
原点対称、周期2
y軸対称、周期2匹
原点対称、周期兀
? I cosα sin p
= cos α cosß I sin a
加法定理
cos (XP).
tan (ap)
=
倍角・半角・三信角の公式
(cosf Is
tand I tanp
IF tand tan
Sinp
(複号同順)
+
sin 2x2 sin α cosα
cos 2x cus² α-sin² α = 1-2 sin² α = 2 cos² α- |
tan 2x =
Sin²
Cos²
tan'
・和積・積和の公式
Sin cos
a sin d + b cos
=
B
=
2tand
T- tan² α
1+ colα
sin 3d 3sinα-4 sin³ α
Cos 3α
=
4 cos³ α-3 cos x
sin α+ sin
=
2 sin x+8
sin α-
Sing
=
Cos α +
Cosß =
cos - Cosß
Cos α-B
2 cos at sin
2 cos
9-1
+ as a-p
2
- 2 sin a+ sin x-p
Sin α sin B = -1/2 | coscα+p) - coscα-p)}
Sin α cos
Cosα Cosp
0
=
=
=
sin (a+p) + sin cα-
x-p1}
=
1 | Cos (a+p) + cos (α-p)}
√a²+ b² sin (O+α) (α18, t. (a+b) of the)
a²+b² cos
(O-P) (Pは点(ba)の偏角)

ページ46:

演習問題(できるだけ章と同じ順番にするが融合も多い
ここでは本文より応用・発展させた問題や省略した内容を扱う、
扱っていない数Ⅰの知識を使う問題は左上に②,
数Ⅲ
〃
③を付ける.
(習ってなくても解答を見て何が使われているのか確認するのも良いと思う)
Ex.1 OCR)(+2)とする。
Prop. 1.5. 2" sin Or Cos O,
cosとtano
の
関係式を与えた。
tano を
sinθのみで表せ。
Ex.2
以下の値を求めよ。
(1) 5in 2016 x
(2)
Cos 7650
3
(3)
tan (1900)
(4) Sino=1/2(-く曰く)におけるcoso, tan目の値
(5) sin+cos
3
=
豆
における
sincoso, sin30+coso
(6) sin² 10°+sin²40°+sin²80°+cos2 140°の値
の値
(7) α,B,♥を三角形の内角としたとき、Cosd=-1/3における
tan
・Y)の値
Ex.3 右図のように600mのタワーを見上げたときに
その角度が36℃になる場所にいる(身長は考慮しない)
このとき、人とタワーのおおよそのキョリを求めよ。
· (p+ r) ok
600m
ただし、電卓や三角比の表を用いてより、
136°
?m

ページ47:

Ex.4
右図の三角形において,b>3とする。
60°B<120°を示せ
b
3
60°
Ex.5.
以下の3つの値は三角形の辺の長さを表す
その三角形は鋭角・直角・鈍角三角形の内、どれか.
(1) 252,5,6
(2) 4,5,6
(3) 256,5,7
Ex6. (1) 正三角形の面積、正四面体の体積の公式を与えよ。
つまり、
1辺の長さがa のとき、それぞれの面積・体積をαを用いて表せ
(2)1辺の長さ3の正四面体に内接する球の半径を求めよ.
=
・4つの面すべての接する球のこと
Ex. 7. 右図のとき. CDの長さを求めよ.
(ABは直径、半径は3,∠B=60',∠A=75°)
C
D
K75°
60.
A
0-3
18
Ex.8. 右図のとき、△BEGの面積を求めよ.
(ABCDEFGHは直方体、EH=3,EA=4,AB=6)
F
4
A
3
H
6
G

ページ48:

Ex.9
Prop. 5.3 Fit
Ex.10
cos3dを
COSOのみで表せ。
Ex.11
Thm.6.3. ci)において
sind+singの証明のみ与えた。
残りも示せ
Ex. 12
Sinl, sin2, sing
の大小関係を求めよ
ただし、ろくたく4を用いてより、
Ex.13
t = Can
□(-1/2)としたとき、simo, coso,tand
七のみを用いて表せ
③
③
Exl (1) xssinxsx (Osxs1)を示せ
(2)
Ex.15(1)
lim
478 °
T
4
0
-nginx
cosax dx
(2) using a
dx を求めよ。
を求めよ
を求めよ。
sin 22 cos 4x doc

ページ49:

(物理) Ex.16 水平な地面で斜方投射するとき、最も遠く飛ぶ
投げ上げ角度(地面とのなす角)を求めよ.
i. 右図のように小球を初速度で、地面とのなす角で
投げ上げる。
投げ上げ地点から、小球が落ちた地点までのキョリ
をxとしたとき xを最大にするような∈0,90)
20
を求めよ。
x
水平: 等速直線運動
Hint: 小球は
になる
鉛直
鉛直投げ上げ
鉛直投げ上げの変位yoy=Vot-1/2まで求まる(Vo:初gi動加速度)
Ex.17(1) teRとする。θの方程式 sino=t(Oc2x)の解の個数を調べよ
(2)
Ex. 18
cos 20+ sin o =0 (-10<2*)
の解を求めよ。
とする
(2)
y = sincos+sin+cos (OCR)
t=sino+Gosθとしたとき、yを七で表せ
yの最大値、最小値を求めよ、
Ex.19 座標平面上に点A(31)をとる
Ex.20
(1)
点Aから原点Oを中心としてだけ回転させた点の座標を求めよ、
Ex.3同様、右図において人とタワーのキョリを求めたい、
X=36°のとき
Cos 36°を求めよ.
Sin2d=sin30 になることを示し
(2)?を正確に求めよ.
(電卓を用いてEx.3と近い値が出ることを確認しよう)
36°
?m
600m

ページ50:

解答
Exl
1 + tan² 0 = cos 0
い
1
1- sin² 0
より
tan²=
sin20
1- Sin²0
Ex.2 (1) 2024675×1/2=674+1/7=2.337+4より、
4
(Ron.1.3)
Sin 2026 Sin (π +2.33 x) = sin & π (0 Ram. 1.3)
3
-π =
(2) 765°=360×2+45° より
Cos 765°= cos(45°+2×360°)=cos
√3
2
45°゜
====
(3) tan (-900) = tan (0°+ (-5)+ 180°) = tan 0° - 0₂
(4)
sinθ=
3
1/
と
COCA F7.
OCO<量に限られる。(単位円をかこう)
ausa=
|- sin 0 - 8
と
Cos 0-051/
coso=
252
9
3
tano=
sino
Coso
T
252
(5)
sin + Coso
=
1/1
より、
=
4
"
(sin 0 + cos 0)² = sin³ 0 + 2 sin Ocos O + Cos²
1+2sincos
(sin+c50=1)
3
sino coso=
-8
R
#t. Sin³ 0 + cos³ 0 = (Sin O + cos 0)³ - 3 sin cos & (sind + cos 0 )
3.
= -

ページ51:

(6)
(0°+80°=90°, 40+140=180°になることに注目して、
sin² 10° + sin 40° + Sin² 88° + cos² 140°
Sin² 10°
+
Sin² 40° +
sin² (90° -10°) + Cus² (180° -40°)
=
Sin² 10° sin 40°
+
Cos² 10° + (-cos 70°)²
Sin (90° - 0) = cos
Cos (1000 - 0) = - Los O
= (Sin³ 10" + cos³ 10") + (sin " 40" + cos ² 40") = 2 +
(7) α+B+8=180° 8'1. p+r = 180°-α
Can (+7)
ここで
=
tan (180°α)
tand
coso=1/23より
| + tan² α =
1
=
9
à.
tan² α = 8
Cos²α
902 x2 180 (0 Cosaco
:0) F/ tanα = -252
以上より、
tan
sen (B+8)
=
tan α = 252
*
Ex. 3
600
=tan 36° ≈ 0.1265 F.
2
600
X≈
≈ 825.88 (m)
0.1265
Ex.4 正弦定理と6つ3より、
Sinf > Sin 60° - T
sinß>
=
これを 0°<180のハントで解くと、60°.
60°4841200
である。
36°
x
600 (m)
06
13°
y.f
x

ページ52:

Ex.s
Prop.3.3 より、最長辺と最大角は向かい合う。
Cor3.5を用いて判定する
(1) 25,5,6
36=62>(25) +52=33
より、鈍角三角形
(2)4,5,6
A
36=62<4°+5°=41
より、鋭角三角形
(3) 256,5,7
49=7² = (256)²+ 5²=49
より、直角三角形
Ex.6 (11辺の長さのの
正三角形の面積は、Thm.4.1より
a
=
Ź. a. a. sin 60° = $az
△600
a
また、1辺の長さの正四面体の体積をVとし、
AからBCDへの垂線の足を点Hとする
Ja
このとき
OBAHEOCAHEODAHより、
② ∠AHB=∠AHC=∠AMD=90",
BA=∠A=DAzu, AMは共通
BH=CH=DH
B
HはABCDの外心
..
正弦定理より、
a
=
= 2BH
をといてBH=
a
Sin 60
a
A
・チェ
三平方の定理より、AH=ja-BH = Fa
以上よりV=1/3
S
x
ax
4
底面積
高さ
a
C

ページ53:

(2) 正四面体に内接する球の中心を0とし、半径をする
このとき、三角錐 O-BCD.O-ABCO-ACO,O-ABD
はすべて合同で正四面体を分割する。
.
1つの三角錐の体積は、
3/23x3xr=準であり
4
D
3
(1)より、4×22r= 長
これを解いて ro
Ex.7
ABは直径より∠ACB=90°より、
C
2
D
∠CAB=30°,∠DAC=45
30
661
また、円に内接する四角形の向かい合う角の和は180より、
A
°
CADC= 120°
AC=ABcos30
6.2=353であり、△ADCに対して
正弦定理を用いると、
353
=
sin45゜
A. x=
Sin 1200
3√3 I
5312
=
352
Ex.8
三平方の定理より、
3
H
355
EG=355, EB=253. B6:5
ex.4.1 同様 3つの辺の長さから面積Sを出す
Cos x=
45+52-25
2.355.2513
=
6
より
F
4
A
2店
P
sin a
=
65
=
· 5 = 2.355 2513.
519
565
=
3519
G
C

ページ54:

Ex.9
<proof>
Prop. 5.3. P.4 ERは定数とする.
q
グラフ y-g=f(x-p)はグラフ y=Fourを
軸方向にP,特軸方向にgだけ平行移動させたものである
y-q=fix-p) ag's 717 G₁:= {(x,y) | 7-q=fix-ps}
y=fを指定通り平行移動させたグラフは62:}(x+py+q)/y=fa}
でありG1=62を示せば良い。
© (x,y) EG, Eε3.
2nzt. y. q = fu-p
S := x-p, t:= y-q rffz, t= f(s) *'%. (x,y) = (5+p, t+q) € G₂
(s,t) EG2をとる。 このとき. (s,t)=(x+p,ytg)かつng=Fをみたすつばが存在する。
x= s-p, y=t-q Fl s-p = f(t-q)
.. (s, t) EG,
D
Ex.10
=
Cos 3x Cos (2x+α)
=
cos 2x cosα- sin 2d sin α
=
(2 cosα-1) cos α- 2 sin'α cosα
2
2 cos'α
-
cos α-2 (1-cos² α) cos d
=
4 cosα-3 cos x
#
このド・モアブルの定理を用いるとsin3axとcos3Qを同時に導出できる。
cos 3α+ "sin³α = (cosα+ isina
13
=
=
=
Cos' α + 2 (3 cos³d sin α)-3 cosα sin³ & -i sin³ α
(cos³ α-3 cosα sin³ α) + (3 cos³ α sin α - sin³α)
(4 cos³ α-3 cos α) + ¿ (3 sin α- 4 sin³ α)
D

ページ55:

Ex.ll Aivate、Bio Az
sin (A+B)
sin (A-B)
==
-ß
とおと
=
sin Acos
+ cos AsimB
=
sin Acos B- Cos A sinB
... ②
より、
cos(A+B)
=
Cos Acos B
+
sin AsimB
cos(A-B)
=
Cos Acos
B
-
sin Asi B
をすると、
A,Bを戻して、
Sin a-sin
sinp=2 cosasino_l
sin (A+B)- sin (A-B)=2cos Asin B
を得る
をすると、
cos(A+B)+ cos
s(A-B)=2cosAcos B
A.Bを戻して、
cosx+ Cos
Cosp=2asaz
cos
得る
2
-
④をして、A,Bを戻すと、Cosa-Cos
Ex.12
y=sinoのグラフで考えるとよい。
まず考える順番としては、
1.2.3が1の右側(大きい)か左側(小さい)か
sp = 2 sin atp
sin
aを得る。
D
y=smo
(1,sin1)
2
(2,5in 2)
判断しょう。
3
<若くて
327448% 11
..
1は左側、2、3は右側である。
(3は当然元より左側にある)
多く曰く下では単調減少より、sin3csin2はすぐに分かる。
あとはsin1がどこに位置するかを調べたい。
日砦が対称の車になっており、にくくくてより、 sinic sin2
2
·(3. sin 3)

ページ56:

3
πを利用する
では sinl
sin3の大小を調べるために
πL
44
ICICI Fl. 11 = Sin &c sin l
1πC 3 < TC Fl. += sin 24 TL
> sin より
sin3c
<sin|
以上より、 sin3sin1 <sin2
Ex.13
t=tan
tano
tan
=
#
(一号)とする
2tan(1)
|- Can² (2)
2t
T-t²
(作角の公式)
Cos20
1 + ean² 0 (☹) Prop 1.5)
=
| +
ピナビ+1
1+t²
=
(1-2)²
一嘆くよーくせくとなり、
1-8230
(+€²
cos >0 F1. to so 1+t2
=
à
Coso=
ia
1-12
○○であり、
sino=coso-tano
2t
2t
1+t² 1- +2
1+t2
この変換によって三角関数のみの有理関数をもの有理関数に変換でき、
積分計算が可能になる

ページ57:

Ex.14
(1)xssinxsx(Osxs)を示す。
ya
Ly=x
このことから右図のように "=sinx (Osxs)は
この2つの直線の間で振るまっていることが分かる
x=0における傾きは1、つまり45になっている
Fax)=sing-
2x とする.
Fixi
=
Cos I
より、次のような増減表を得る
元
x 0
...
α
...
2
ya
- y = cos x
十 0 -
f010
0
x
0
a
ただし、f(x)=0 (osx型)の解はただ1つ存在し、〆とした。
したがって、0:x=1/2において、f(x)20
co.xs sing
ry=sina
次に g(x)=x-sinx とする.
g(x)=1-cosx20
g(x)20à. sinxsx
かつg(0)=0より、ossでは(広義)単調増加する
以上より、
OxTIにおいて、
x=sinxsxc
D
(2) limfé
insinx
no
dx を求めよ。
はさみうちの原理を用いる。
しいより、
osxs砦において、x=sinxsx
より、
enxsensmise
-nx
→
2

ページ58:

ここで
1² **
π
e
-hx
[* e^x = -
0
2
e
T
[e-h²]² + (1 - 2) -
=
=
R
→ 0
(no)
2m
2n
[*]. (1- ) -
→
○
(n→∞)
より、
π
はさみうちの原理から lim
nsing
e
dx=0
4000
(1)のSin の評価をO=sinol"
や
ossinxsxのようにしてしまうと上手くいかない、
下界もxの1次式で評価できている所がうれしいポイント
この不等式と積分は複素関数論の授業で出てきたので紹介した
(③
Ex. 15
くり
[* Cos³x dx = 1/1 [*(1+60122) dx (@BAR)
2
Cos2x)dx
+ sin 2x] =
=1/2[x+/sini
い
= + ( ² ² + 1 ) = 1/3 + ± 12
(2)
sin 2x cos 4x do
=
=
÷(sin62x+
。
(半角の公式)
sim(-2x)) dz
(積和の公式)
1/2 ( - | cos bx + cos (-2x)
3
(物理) Ex.16
落下する時刻七、を求める
(Dosing).t-1/2gt2=0の解(七po)を求めれば良く.
t₁ =
2 Vo sin D
g
nosino
too!
vo cos o
t=t₁
x
=
'sin
g
· X = (No caso). t₁ = 1 (200) sim 20 (0199 nest)
0.2
>0 F
sino
g
sin20を最大にするOE(0,900)がつしを最大にする。
したがって火を最大にするのは日=45°(=)
y=sin 20]
10

ページ59:

g
Ex.17
(1)
Sin O=+ (-1:0 <22)
g=t
直線y=tを上から動かして交点の数を数えよう。
(解の個数)
2
y=sint
2
1tのとき 0つ
t = 1 のとき1つ
0く亡くしのとき2つ
t = 1
のとき2つ
"
t=1
-七coのとき3つ
ktor tetのとき 0
のとき1つ
octs/ or t=-1 nez 20
-14040
のとき
3つ
t=1のとき2つ
七-1のとき 0コ
(2)
cos 20+ sin 0 =0 (-={0<2*)
倍角の公式より、
1-2sin²0+sino
t=sinoとすると、
2+2 - =-1=0
(2t+1)(t-1)=0
t=
1/2となる日は
七
|
となる日は
0 = 17
-
0 = −1, 1, 1 x, y a
#
=0
ce. 2sin20
-
sin0-1-0
(1)の解の個数と一致している。

ページ60:

Ex.18
y = sino cosO+sin+cosO (OCR)
(1)
t=sinot cosoより、
t2= sin0+2sin Acos + cose O
=
1+2sino coso
sincoso=
y=(ピーェ)+七
より
2
y= ( ± ₁² - ± ) + t = ½ t² + — — — —
(2)
t=sin+coso=
√2 sin (0+1), OER FI.
七のとりうる値のハンイは一sts
にのハンイの七に対するOERが存在するということ)
y=平方完成して.y=1/2(七+1-1,stsの
a
最大・最小問題に帰着する。
したがってnは t-1のとき最小値-1をとり、
七日のとき最大値+」をとる
Ex.19
A(?,1)の偏角(Def.1.2参照)
t = -1
を1つとって〆とする このとき (3.1)=5ocosx, Sio sina
P(sto cos(at), so sin(x++))とかける。
)とかける
STO cos (α+ 1) = √10 (cos α cos &
- sind sin⋅
○)(加法理
=
= 3
sosing
= 1
=
52
So sin(x+1)=Jiro (sincos + cosasin)
☐
Sco sin α +
52
To cosα
=
2√2
=3
t=52
A(3,1)
P(52,252)
"OP" √²+(252)²= STO
たしかにOP=
になっている。

ページ61:

Ex.20
(11
まずsin2x=sinza (d:=36)を示す
50=5.36°=180°より、
sin (180°-20) (Gr.1.6)
Sin 20=
=
Sin (5α-2α)
J36°
?m
= sin3a
示された。
倍角の公式と3倍角の公式より、
2sindcosa=
3sina-4ginza
Sin α #05%.
2cosx=3-4sinzd=
3-4 (1-cos2d)
4coszx-1
✓
4cos2d-2cosa-1
0
Cos〆について解くと、
11+4
cos do
1+55
=
4
4
asx>0より、
Cos α =
1+55
4
A
600m
600
(2)
求めるキョリをxとすると、
tan36=tandより、
x
tanaを求める
4
16
1 + tan³d = costα = (1+15) - +25
3
tanzd=
10-255
6+25
tan X 70 より
tana
=
600
:2=
5-255
#
5-55
=5-255
3+55
5-255
8825.83となり Ex.3と近い値になっている
ことが分かる。(こちらの方が正確)