ページ3:

3太郎さんと花子さんは, 食塩水の濃度についての課題を考えて
いる。
課題 α > 0 とする。 濃度が x % の食塩水 200g がある。
この食塩水に, (A)または(B)のいずれかの操作を行い,
食塩水の濃度が4%以上 6%以下になるようにする。
(操作) (A) 水を 110g 加える。
(B) 食塩を 7g 加える。
このとき,ある条件を満たすxの値の範囲について考え
る。
太郎 : 食塩水の濃度は, 食塩水全体の重さに対する食塩の重
さの割合を%で表したもので
(食塩水の濃度)
(食塩の重さ)
(食塩水の重さ)
×100(%)
だよね。
花子:そうだね。 だから, 食塩と食塩水の重さに着目するとい
いよね。
太郎:(A)の操作を行うと, 食塩水の重さが 110g 増えて, 食塩
の重さが変わらないから濃度の値は小さくなるね。(B)の
操作を行うと, 食塩水の重さが7g増えて, 食塩の重さも
7g増えるから,濃度の値は大きくなるね。
花子:そうか。 では,課題を考えてみよう。
(1)(A)の操作を1回行った後の食塩水に含まれる食塩の重さ(g)
をxを用いて表せ。 また, このときの食塩水の濃度 (%) を x を
用いて表せ。
(2)(A)または(B)のいずれかの操作を1回行うことで, 食塩水の
濃度が4%以上 6%以下になるようなxの値の範囲を小数で答
えよ。
(3)(A)または(B)のいずれの操作についても, 1回行うことでは,
食塩水の濃度が4% 以上 6%以下にならず, (A)または(B)のい
ずれかの操作をもう1回行うことで, 食塩水の濃度が4%以上
6%以下になるようなxの値の範囲を小数で答えよ。 ただし, 1
回目と2回目で異なる操作を行ってもよい。
(配点 25 )

ページ4:

4 2次関数 f(x)=x²-4x+7があり,y=f(x)のグラフをx軸
方向にα-2,y軸方向に-5だけ平行移動したグラフを表す 2
次関数を g(x)とする。 ただし, αは正の定数とする。
(1) y=f(x)のグラフの頂点の座標を求めよ。
(2) y=g(x) のグラフの頂点の座標をαを用いて表せ。
また,a=3のとき,0≦x≦4におけるg(x) の最大値と最小値
を求めよ。
(3)0≦x≦4におけるg(x) の最大値をM, 最小値をmとする。
M-2m=9となるようなαの値を求めよ。
(配点 25 )
5 美術部, 書道部, 合唱部の部員が3人ずつ, 合計9人の生徒
がいる。この9人の生徒を2人,3人,4人の3つのグループに
分ける。
(1)美術部の部員だけで3人のグループをつくる。 残り6人の
生徒から2人を選ぶ選び方は全部で何通りあるか。
(2)グループの分け方は全部で何通りあるか。 また, 各グループ
に美術部の部員が一人ずつ入るような分け方は全部で何通り
あるか。
(3)2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方は
全部で何通りあるか。 また, どのグループにも2つ以上の部の
部員が入るような分け方は全部で何通りあるか。
(配点25)

ページ5:

自学
【小問集合】
(1) √35 +
(−2)² · 3 = √3² · 3² · 3 + √12 = 9√3 + 2√3 = 11√3
(2) (2x+1)(2x-5)-(x − 2)² = (4x² - 8x − 5) − (x² - 4x+4)
= 4x²-8x-5-x²+4x-4
= 3x²-4x-9
(3) 4a²+4ab3b² = (2a - b)(2a+3b)
2a
-b2ab
✗
2a+3b → +6ab
+4ab
(4) 11x-20<3(x+4)
x+2 2x-1
≤1
3
11x-203x+12
3(x+2)-2(2x-1) ≤6
8x32
3x+6-4x+2≤6
x<4
-x≤-2
2
2≦x<4圈
(5) | 7x-4=3 ⇒ 7x-4 +3x=1,
x≥2
1-7
答

ページ6:

〖数と式〗
(1)
x=
-(-4)±√(-4)2-4×1×(-2)
2x1
-=2±√6
小さい方の解がaだから a=2-√6, b = 2 + √6 圄
(2)準備:基本対称式 a + b = 4, ab= -2
▷ a² +b2 = (a+b)2-2ab=42-2×(-2) = 20圄
対称式変形
2
b a² +b² 20
a
A +
=-10
b a
ab
-2
次ページへつづく自

ページ7:

a
(3)準備:
√62-√6
2+√6^2-√6
×
=2√6-5
分母の有理化
b2+√2+√6
×
=-(2√6+5)
a
2-√6^2+√6
これらより,①の
左辺=|x-(2√6-5)|
右辺 = |-(2v6+5)|=--(2√6+5))=2√6+5
だから,①は
|x-(2√6-5)|≦ (2√6+5)
絶対値をはずすと-(2√6+5)≦x-(2√6-5)+(2√6+5)
辺々に (2√6-5)を加えて10≦x≦4√6
4√6 = √96より9<4√610に注意して数直線にお絵かきし
てみると
おk
ダメ
ダメ
おk
T-10-9
89
k
k+3
k
k+3
k
k+3
k
k+3
↓
↓
≦-10
|-9≦k+3 <-8
-12≦k < -11
以上より -12≦k < -11 または 7 <k≦8圏
[9≦k+3
17<k≦8
↓
7<k≤8

ページ8:

3 【1次不等式の応用】
(1) 濃度がx% の食塩水 200g に含まれる『塩』の量は
x
200x
=
2x (g) 圏
100
お水を110g 加えたとき
塩:2xg
食塩水 : 200 +110= 310g
2x
20
よって, 濃度は
-x 100
-x (%) 圄
310
31
20
(2)(A)を1回すると (1) より
-x(%)
31
20
これが4%以上 6%以下だから 4≦x≦6
31
辺々を 31倍して
124 ≦20x≦186
124
186
辺々を20で割って
≤ x ≤
20
20
すなわち
6.2≦x≦ 9.3
2x+7
200x + 700
(B) を 1 回すると
x 100
(%)
200 + 7
207
200x + 700
これが4%以上6%以下だから 4≦
207
分母をはらって整理すると
0.64 ≦x≦2.71
①,②より
0.64 ≦x≦2.71 または 6.2 ≦ x ≦ 9.3 圈
次ページへつづく自

ページ9:

(3)(A)の操作を 1 回ぢゃ 4% 以上 6%以下にならないのは(2)より
0<x< 6.2,
9.3 <x
(B)の操作を〃
"
11
0 <x< 0.64, 2.71 <x
1回目と2回目の操作の組み合わせが三通りあるので,
それぞれの場合を考えてみます。
ア 1回目も2回目も(A)のとき
2x
4≦
- x 100 ≦ 6
200 + 110 +110
これを解くと(略すけど)
8.4 ≦x≦12.6
・③
① かつ③より (数直線をお絵かきしてね~)
9.3 <x≦12.6
(A)と(B)を1回ずつのとき
2x+7
4≦
- x 100 ≦ 6
200 + 110 + 7
これを解くと
2.84 ≦x≦ 6.01
これは①も②も満たしている。
⑦ 1回目も2回目も(B)のとき
2x +7 +7
4≦
- x 100 ≦ 6
200 + 7 + 7
これを解くと
-2.72≦x≦0.58
これは2を満たさないので不適。
ア イ ウより
2.84 ≦x≦6.01 または 9.3 <x≦12.6
1

ページ10:

4
【 2次関数 〗
(1) f(x)=x^-4x +7
=(x²-4x+4)-4+7
=(x-2)2 +3
軸x=2頂点(2,3)
(2)(1)で求めた頂点を, x軸方向にα-2,y軸方向に-5だけ
平行移動させた座標は
(2+(a-2), 3+ (−5)) (a,-2)劄
a=3のとき,y=g(x)=(x-a)2-2=(x-3)2-2
軸x=3 頂点(3, -2)
0≦x≦4の範囲でy=g(x) のグラフをお絵かきして最大値と
最小値をみつけると
x=0のとき最大となり,最大値はg (0) = 7
x=3のとき最小となり,最小値は g (3) = -2
したがって 最大値 7, 最小値-2 圏
34
0
次ページへつづく自

ページ11:

(3) y=g(x)=(x-a)2-2
軸x=α 頂点(α, 2)
0≦x≦4の範囲で考えるので, 定義域の中点 x=2に着目して
ア) 0<軸≦2 イ)2<軸≦4
ウ)4<軸
すなわち
ア) 0 <a≦2
イ)2<a≦4
ウ) 4 <a
の三通りに分けて考えてみます。 (a>0)
ア) 0 <a≦2の
M = g(4) = a² - 8a+14, m=g(a) = -2
M-2m=9より
(a^-8a+14)-2·(-2) =9
2
a² -8a+9=0
a=4±√7
•Max=g(4) 条件より
|a=4-V7
0<a≦2
x=0
Min = g(a)
x=4
イ) 2 <a ≦4のとき
M = g(0) = a² −2, m=g(a)=-2
M-2m = 9より
Max = g(0)
(a^-2)-2(-2) = 9
a² = 7
条件より
a=√√7
x=0
Min = g (a)
x=4
さらに次ページへつづく

ページ12:

ウ) 4 <αのとき
M = g(0) = a² − 2, m = g(4)=a² −8a +14
M-2m=9より
Max = g(0)
(a²-2)-2(a²-8a +14) = 9
Min = g(4)
x = 0
x = 4
a²-16a+39=0
(a-3)(a-13)= 0
条件より
a = 13
ア,イ,ウより a=4-√7,√7, 13

ページ13:

5 【場合の数】
(1)6人から2人を選ぶ選び方は
6x5
6C2
=15 (通り) 圄
2x1
(2)2人のグループをA, 3人のグループをB,4人のグループを
Cとすると, 9人から2人を選んでAとし, 残りの7人から3人を
選んでBとすれば, 必然的に残りの4人がCとなるので
,C2x,C3×1= ×
9×8 7×6×5
2x1
x1=1260 (通り)圏
3×2×1
また, 3人の美術部員を1人ずつ A, B, Cに入れる入れ方は
3! = 3×2×1=6(通り)
このおのおのに対して, 残りの6人から1人を選んでAとし,
つづけて残りの5人から2人を選んでBとすれば, 必然的に残り
の3人はCとなるので
6×6 Cxs C2 ×1=6x6x
5×4
2x1
-x1=360 (通り)圏
次ページへつづく自

ページ14:

(3)2人のグループに1つの部の部員だけが入るような分け方
Aには部の選び方が3通りあり,かつ, 3人の部員から2人を
選ぶ選び方が3C2通りあるので計3×3C2 = 9通りある。
このおのおのに対して、残りの7人から3人を選んでBとすれば,
必然的に残りの4人がCとなるので,
7×6×5
9x,C3×1=9x- -x1=315 (通り)圏
3×2×1
どのグループにも2つ以上の部の部員が入るような分け方
全部のグループの分け方 (1260通り) から, 1つの部しか入ら
ない分け方(和集合)をひきます。 余事象
Aに1つの部の部員だけが入る
315(通り)
Bに1つの部の部員だけが入る
3×6 C2×1=45 (通り)
⑦ AとBにそれぞれ1つの部の部員だけが入る
AUB
3x3 C2 x 2 = 18 (通り)
+ イー⑦ より 315+45-18 = 342 (通り)
したがって,
1260-342 = 918 (通り) 圏