ページ1:

△OAB があり, 辺OAを2:1 に内分する点を E, OB を3:2に内分
する点をFとする。 また, OA=a, OB=bとする。
(1) OEをαを用いて表せ。 また, OF を6を用いて表せ。
(2)線分 EB をt: 1t (0<< 1)に内分する点をPとするとき, OP を
OPを
a,b,tを用いて表せ。 また,点P が直線 AF 上にあるとき,
a,b を用いて表せ。
(3)f(2)で求めた値とする。 直線 OP と辺 AB の交点を Qとするとき,
OP
OQをa,b を用いて表せ。 また,このとき,
-の値を求めよ。
PQ

ページ2:

解答例&プチ解説
(1) OE:OA=2:3より
OE=
OA=-a
OF: OB = 3:5より
OF
=
3
5
OB
OB
=
3
-b
5
①
A
O
土
S
(2)△OEB で, 内分点の位置ベクトルの公式と(1)により
P
1-s
LL
1-t
OP =
(1 - t)OE + tOB
t+(1-t)
2
(1-t) x = a +tb
x²±² a+b=² ²
(1 - t)a + tb圈
3
B
AP:PF = s: 1-s (0<s<1) とすると, △OAFで内分点の位置ベクト
ルの公式と(1)により
OP
=
(1-s) OA + sOF
s+(1-s)
3.
(1-s)a+sx=b=(1-s)a +=sb
3
aとは1次独立だから, OPの係数を見比べると
3
(1-t)=1-s, t=-s
したがって
OP =
3
5
t=
5
1
→
1 4
-
Ca+ b =
3
·a+
(3)3点 0, P, Qは一直線上にあるから, 共線条件によりOQ=kOP とお
ける。
←
1
3
4
→>>
1
これにOP =-a+- を代入すると 0Q
=-
-ka+-kb
3
4
9
点 Q は直線 AB 上の点だから, 係数和の法則により
k+-k=1
よってQ
-6
1 9 → 4→
x-a+-x-b= -a+ -b圏
OP
また,OQ=20
-OP より OP:PQ = 7:2 だから
PQ
7-2