數學B1課堂筆記📓（全）
【教科書】龍騰 第一冊B1
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Senior High 1年生
這是上課時寫的筆記，總共有11課！
如果有寫錯字，在下面留言告訴我😁😁
整理好久，希望大家可以看看👀！
ノートテキスト
ページ1:
重點: 整數 a=(P.8.E.]. P40) 2. 循環節有幾節就乘以10的幾次方 <key> 有理數 L餘數一直不是→循環小數 回有理数的糊密性 任兩個相異有理數之間,至少存在一個有理數 ++ ex: 十分逼近法 (√2) = 2 1² = 1 2² = 4 (1.1)=1.21 (1.2) 31.44 1.0.23. (1.3) 1.69 +0.25 (1.4) 1.961+0.27 (1.5)=2.25)+0.29 9 根式8分式的運算 (1.41)* = 1.988] (1.42)=2.0164 1+0.0283 當Q20且x²=Q 則x=da 此二數為Q之平方根 #實數的組成:教系是一種包含關係式的不斷擴張 補: N:正整數 Z:整數 Q:有理數 风:寶教 ex:設a.b.c為實數,選出正確A.C.E V(A)若(a+b=a+2c.則b=c X(B)若&b=&c.則b=c⇒Q可能=O v(c)若a-2c2b-2c.則azb *(D)若ab² > ac²,則b>C⇒b可能是負數 V(E)若贵受,則ab> ac <key>最簡根式 疯的根式將a化為標準分解式 後每一個質因數的福數群是! 補充:加減法必須同類項 乗珐同次根號相乘 除法分母有根號要有理化!!! 根號中另有根號 回雙重模式的特例 d5-26 = [(5-5A = 3-5 " <key>中點坐標 x B 隆:透過否定就近,進行反而思考 證明:不是無理數 (P.4.6.N)最簡分數 (P.f.)設是有理數,即(三)二)广 2p² = 2 xq 偶偶偶 只是正偶數 令q= 2k (KEN) 2p* = (2k)(2k) P=2k"∴P是正整數 →即產生矛盾,故之為無理數 ⊗無理數定義,不能表示成分數的數 <key>正確命題 無理數有的性質 前提結論 若a.b囧有理數且a+b=0 則a=b = o 錯誤命題 <補充>T=121.414 5=1.7324=2 √√6 = 2.4 √7 = 2.6 √8 ± 2.8 √9=3 ⇒若P,則Q(證明) " √52.2 ②式的運算 乘法公式 1. (a+b)² = a+2ab+b² 2. (a-b)²= a²-2ab+b² 3.㎡-b* = (a+b)(a-b) 4.(a+b+c)* = (a+b+c)(a+b+c)=a²+b*+ C+2(abtbc+ac) 5. (a+b)=(a+b)(a+b) (a+b)=(a+b)*(a+b) = (a*+2ab+b*)(a+b)= Q²+30²b+3ab²+b3 6. (a-b)³ = (a+(-b)] = a³-3a+b+3ab²+63 回立方和²+b*=(a+b)(㎡²-ab+) (a+b)* = 0²+386+3ab²+b* a+b (a+b)-3ab-3ab² = (a+b)) - 3ab (a+b) = (a1b)[(a+b)-3ab] = (a+b) (a²-ab+b²) 9 因式分解⇒乘法展開的運算 回立方差 Q³-63 =(a+b)(a+ab+b²) ⊗雙根式化歷 1.設a20.620.則 Ja+b+grab = √a+√b a>o.b>o.azb Ja+b-2,506 = √α- √6 幾何平均數 106 ②算幾不等式 算術平均數:些 azo,bzo <key>使用時機⇒和積互求 等號只有在a=b時成立
ページ2:
ch2.絕對值1.數線上分點公式
2.含絕對值的一次方程式 3.含絕對值的一次不等式
非負
<key>數線上兩點距離 20
②中點公式 M()
+
b
b
a
a=b
距離:1b-a1=la-b|
ebs
距離 = b-a 距離=a-b 距離:0
交差相乘
②數線上內分點公式⇒比例和
AQP ①
x
B
<P> AP PB = min
(x-à):(b-x)=mih
nx-na=mb-mx
nx+mx=mb+na
(n+m)x=mb+na
mb+na
x=n+m
◎含絕對值的一次方程式
[01:2⇒@=±2
◎與原點距離
◎絕對值
1. 代數定義
2. 幾何定義
1x1代表數線上
x, when x≥0
1x1 = { -x, when x <0
與原點的距離
有分段點
P38 分段討論,含絕對值=0
2.4.2,
P39.☉含絕對值的一次不等式 大於在兩邊,小於在中間
>22 or <-2
與原點距離 >2
-2 0
||≤3-350 ≤3
-3 D 3
補充:區間表示法
( ) 小括號
[ ] 中括號
{ }→大括號
<key>00 無限大不是
一個數字,只是一
個很大的概念
區間/分類 範圍 數線
[a,b]閉區間 asxsb Tim
(a.b) 開區間 a<x<b
[a.b) 半開區間 asxcb
[α,00) x
(-00.b) x
-x2b
x<b
ex:1<x≤5的區間表示法: (1,5]
ex:x≤bor x22的區間表示法為
(-20-610 [2.00 ˙聯集(或)
ページ3:
ch3 指數 ①aman = am+n (am)" = axh a*b" = (ab)" 又有理數歷數指數律 4. [定義]正整數指數 at R.ne正整數 ●指數(次方) = axax xa @整數指數 chy (合指數運算的法则 h13 (a的n次方) a+0.n為正整數 a" an ex:5x5x5 =125 = 53 an a" a" a" a² a' I' P57 有理數指數 [定義]正n次方根 設Q是正實數,是正整數.nz2.稱滿足方程式X^=a的唯一正 根為a的n次方根,記為Q(n次根號a) ex:烟 x2 有兩個根 X3=2 35牛粒 X=砭(唯-正根) x=-√2 (唯-正根) 指數運算法則 回正整數的指數律 設a.b∈R.m.n∈正整數 第1條axa" = am*(底數相同,次方相加) ex: 23 x 27 : (2x2x2)(2x2x2x2x2x2x2): 210 第2條(am)” = amen (内外次方,次方相乘) ex: (2) 2x2 =(3x2x2) (2x2x2)=26 • 第3條Q*xb" = (ab)*(同次方相乘,底數相乘,提出次方) ex:2*x3 = (zx242)(3×3×3)=(2x3)3=63 M-n 第4條, = a a' (同底相除,次方相減 [定義]負整數指數 [定義]0指數 對於一般無運敬r.利用逼近法的定義 a的值設為無理數,若存在有理數列 3 Y.. P2.....rn r則有a, a, as arm=ar √3 .1.732 ex:2 2 =2 21.7= 10/2 23.24901 21.732~3.32188 愈大 21.73~3.31727 [突着]有理數的指數 RATAR R m DJ a = Ja a(分母在外,分子在內) 若a≠o.n=正整數 若Q≠0,則0°=1 Maá = an ex:2°= 1,T°= 10°沒有定義 .
ページ4:
ch4 科學記號 科學記號表示法&其運算 定義:每一個正實數a都可 jo 表示成a=bxion(I≤bs & 常用對數 .n是整數 常用對數 ◎有效數字(概數) 用科學記號來記錄一個很大或很小的正 數時,不會寫出所有的數值,而是記錄前幾數字 <key>光速 299792458m/s 取四位有效數字 =2.997/9 2458x108 四捨五入 ◎常用對數 = 2.998×108 (6>0) [定義]每個正數b均可表為10的某次方即b=100=100gb 則logb稱為b的常用對數 例:10²=100 10 = 110 10°=1 10' = 10 < 100 = 2 10-2 = (60 <補充>常用對數之運算 . ① loga+logb= logaxb loga - log b = log 1 ③ loga² = Kloga <補充>常用對數及首數,尾數 loga: n + logb nos logb</ 尾數 ex: log2000 = 10g2x103 = -10g2+3=0.3010+3 首數+1=位數 (10g2+10g103) <key> 2 = 101092 0.3010 = 10 3 = 10093 : 10 0.4771 (10g 2是無理數) 補充: 真數 a² = b = loga b = x 底數 補充: x | 2 3 4 5 6 1 8 9 10 logo 10.30100 0.4771 0.6020 0.6990 0.7781 0.84510.9030 0.9542 1
ページ5:
ch5.直線方程式 1.直線的斜率 2.求直線方程式 3. 直線的平移 4. 兩線平行x 垂直 5. 點到直線距離 Q:如何描述一條直線方向? 【終點 [定義]斜率是直線中一個重要的 起點 4g坐標變動 參數,是指一條直線傾斜的 比率,是一個比值用來衡量直 安全標變動 △X 斜率= [定義]水截距:圖形與x軸交點的X坐標 (3.0) (-2,0) x截距:-2 [定義】截距:圖形與y軸交點的坐標 線的傾斜程度 ex: ☆直線的斜率公式 B(X3,42) 【終點 +2 終點 起點13 A(x,y) --x1x2 1X2-X11 TY₂-Y₁ T 斜率号 斜率= =-1 斜率 垂直位移 Ya-Y₁ = 水平位移 = m X2-X1 [重點]鉛直線沒有定義斜率 <key> Blα, Ya) Alody) x=α Y-Y m = 又1又 愈大 Q:通過一點的直線有幾條?無限多條 Q:斜率相同的直線有幾條?無限多條 Q:直線方程式⇒點斜式 ˙P(x,y) xo, yo) 只要P是異於A的動點,已知m 由斜率定義m=(y-yo)/(x-xo) yoyo=m(x-xo) ex:A(1.3)m=2 m 在直線上的點 都是此的方程式 y-3 = 9-3=2x-2 (x-1) P(0.3) (0.3) 截距:3 y截距:-2 (0,-2) X12,02 二元一次方程式 一直線 ex: L:zx-3y+6=0 x截距:-3(令 y = 0) y截距:2(令x=0) 用於y截距 <補充>斜截式 (o.k) (-3.0) y-yo = m (x-xo) y-k = m (x-0) y = mx-k
ページ6:
chb 圓的方程式 1. 圓的標準式 2.圓的一般式 3.點與圓的關係 (M) (r) ⑥圓的定義圓心 半徑 ◎阿波羅尼斯圓(Apollonius) 平面上和一個定點等距離的 所有點所形成的圖形 ◎圓的方程式(要有“圓心”“半徑”) P點在圓上跑一定會滿足MP=r Mich P(x,y) (圓的標準式) MP = √ √(x-h)² + (y-1)*)² = r² C:(x-h)2+(y-k @圓的一般式 展 x²-zhx+h²+y-2ky+k+=r²+ 已知平面上相異兩點.A.B則所有點 滿足丽:KPE(K20k+1)的P點的軌 跡是個圓,稱阿波羅尼期圓 <key>當k=1時,P點的軌跡是AB的中垂線 <key>二元二次方程式 x²+y²+dx+ey+f=0 M(一号,一号)r=/J²+e²-4f 判別式D=d²+e'-4f ①D:0 ②D=0 點 ③DLO 沒有圖形 利用點到圓心 的distance 與半徑比較 ②點與圓的關係 配方 B C:(x-b)²+(y-k)² = 12(圓的標準式) d e f X²+y² E2hxE2ky+h²+k²-1] = 0 C:X²+y²+dx+ey+f=0(圓的一般式) M1-号,一号),v=d²+ e²- 4f [x+dx+(*)*]+[y+ey+(星]=-f++ + (x+产+(y+)*=d&ze?.4f ①>>點在圓外 ②ōB=>點在圓上 A③c<P>點在圓內 <補充> P₂ P₁ (1)若A點在圓外 最長則Max AP=ōntr min AP Ar (1)若B點在圓外 <P2 則Max AP=1+OB P3 最短 ·A min APY-DB <補充>三直線不能成△ ① 三線共點 ② 三至少兩線平行 (3 三線同一條
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1. 代數判定 Ch1.圓與直線的關係 1. 圓與直線關係判定2.幾何判定 2. 圓的切線 ☉圓與直線關係 有2個相交點(相割) -割線 切點有一交點 圓的切線<key>與圓只有一個交點的直線視為圓的切線 回判斷方法 (相切) 「切線 -不相交(相離)(沒有交點) (一)代數判定 兩圖形求交點鮭聯 •C:x²+y²+dx+ey+f=0-0 L:ax+by+ c = o-② ①D20⇒有兩相異實數解 代②入①ax²+bx+c=0 D = b²-4ac ②D=0⇒有一解(重根) L③D<O 無實數 (一)過圓上一點⇒切線有一條 已知 MPIL⇒m相乘:-1 M Plxo.yo) (二)過圓外一點 (P(xo,yo) 利用點斜式求L Ly-yo-mL (x-xo) ⇒切線有2條 設切線方程式 y-yo=ML(x-xo) 利用d=k求m <key>當求出m值只有一個時,表示令 一條過定點(x,yo)的鉛直線 (x.xo) (二)幾何判定⇒圓心到直線距離與半徑比較 <補充>圓之弦長 1. d2r>不相交(相離) 2. d=r(↔交於一點(相切) 3.der 交於相異兩點(相割) 1.39x 點擊以切換至 18 M(h.k) AB = 2√√r³-d L
ページ8:
②多項式的基本概念 回多項式的變形連續綜合除法技巧 [定義]將許多項式相加所 组成的數學式稱多項式 知數變數元 係數(通常是實數) f(x)=5x2+x*-zx+④常數項=4 toodegfax1-3 △常數多項式 f(x)=3⇒零次多項式 f(x) = Q0 (ao≠0) g(x)=0 = 0xx" ex: f(x) = 2x²-x+1=a[(x-1)+ bx-1)+c g(x) 餘式 f(x)=(x-1) X-[b]=2(x-1)+3(x-1)+2 <key>非多項式函數 2.900x 3.-(-x+ : @綜合除法 除式為一次 ex:以x-2除2x²+3x-1⇒令除式為0 ②x+4% +11 x-212x3+0x²+3x-1 2x-4x² 4x2+3x (-)4x2-8x 11x-1 -11-22 21 x-a = a x +α=> a 2 0 3 -T 2 4 8 22 2 4 |2| ∵∴商式=2x²+4x+11 餘式= 21 ②餘式定理 用於除或為一次式 多項式除以一次式 QK-b 函數值 時,多項式的值記為fil = 5 + 1 - 2 + 4 = 8# 鲜式(音) f(x)=(x-2)Q(x)+r 。 412)=(2-2)2181+8 =(x-1)(2x+1)(X²+x+1) 補充:f(x)=2x²-x2-2x+1=(x-1)(2x)+x²+x-1) 2 -I 0 -2 2 | 1 -| 4.絕對值:k(x)=1x = 0xx' 沒有規定次數 ★根據多项式的定義、窯不可 = = 0xx' 稱為零多項式 在分母,厂.11.次方 <key>2x+4x-2=0(方程式) 當 2-10 (v) ex: f(i) = 5x13 + 12-2x1+4 20x4802(多項式) *x+2x-1 多項式相等,同次項係數 分發 回多項式的加乘法 設 f(x) 2 2g(x) 是兩多項式 g(x)=0 則恰有一組多項式Q(x)和r(x)滿足 f(x)=g(a).Q(x)+r(x)其中r(x)=0或 被除式= 除式,商式+餘式整除 deg r(x) < deg g(x) 次方相同 同類項合併、缺項補0 回多項式的乘法 係數相乘,次方相加 |- 2 | 21 I -10 22 2 2 0 ②因式定理(餘式定理的特例) (1)若x-C是f(x)的因式,則f(c)=0 fx-C <p.f>f(x)=(x-C).Q(x)+rx f(c)=(c-c).Q(x)+0=0 回因式定理的推廣 20.6是相實數,且fox是多項式 若f(a)=f(b)=0,則(x=0)(x-b)是 tu
ページ9:
圖形:一直線 ch9. 函數 1. 一次函數:y=ax+b(a≠0) 回函數(funtion) 兩變數x.y在某種對應關係,當x為特定 值時,她對應於特定的值,此時「是入的函數」 記為 y = x x 个 圖形:拋物線 2.二次函數:y=ax²+bx+c(ato) <key>y=ax²(a≠0) [a係數愈大 變越窄(開口小) la係數愈小 變越胖(開口大) 伸長壓縮 <key> 伸縮 伸縮倍數看下面 ex: y = zx²改寫成告=x² 即以x軸為基準線,鉛直線伸長2倍 output 1 input. 輸出机輸入 應變數器x自變數 功能 <key>鉛直線判別法 與函數圖形只能有一個交點 ◎坐標上的分點公式 <key>函數分類 ①1對1函數: 1個入對應到1個y. <補充> y=3x y=(x-2)2+3 不同的x.對應到的也不相同 係數不同,無法平移 在首變數X的範圍內每一條直線x=a ②多對1函數:1個入對應到1個y. 不同的X,可以對應到同個 @y=ax²+bx+c 配方 +y=alx-h)²+k 二次函數 PIX.Y) 7B AP: PB = min A ↓(x2,y2)則P點坐標 + 1 nx+mxz : x= m+h (X1,0) (x,0) (x2,0)' ny+myz y=. m+n 比例相加 <key>交差相乘 回二次函數 設 a. b. c是實數y = f(x)=ax+bx+c(ato) 稱x的二次函數圖形→拋物線 <key>二次函數的基本型 y=ax+bx+c = a(x-h)²+kky=ax² ⇒頂點(h,k) @y=ax²a圖形 描點 a20⇒開口向上 aco⇒開口向下 ③1對多(不是函數) ④I對無(不是函數) ②線型函數 1. 常數函數2.一次函數 函數的圖型是1條直線 y=f(x)=@x+b m (斜率) 截距 @y=ax²+bx+c =a(x²+x+a = a(x-h) + k 豆 +C-4a T-b²+4ac 40 20 h=-= k = -b²+4ac ↓ #4 4a 頂點矬標 頂點y坐標 對稱軸x=-20 ①9>0 當x=h時,min=k ②當a≠0時,y=ax+b稱為一次函數 圖形是一條直線 ② a<0 當x=h時,max=k ①當a=0時,y=b稱為常數函數 圖形是一條水平線 <重點>1.頂點(0.0) 2. 開口向上的拋物線 3.軸是對稱軸 ②二次函數圖形的分類 a>o ① D20 (開口响上) x y=ax²+bx+c D= 0 ③D<o恆正 判別式D=6-4ac x x aco ①D>0 (開口向下) ②D=0 x A x ③D<O恆負 x
ページ10:
ch10.三次函數的圖形特徵 y=ax³ 缺二次項 → 超級基本型 三 y=ax²+ px(p≠0) 基本型 次 函 y=a(x-h)+p(x-h)+k y=ax²+bx²+cx+d 數/ 廣域特徵 局部特徵 回函數的基偶性 (1)偶函數 如果函數滿足f(x)=f(x),f(x)稱為偶函數 充分且必要條件圖形關於y軸成對稱 ex:y=x² 4 (2)奇函數 如果函數滿足f(x)=-f(x),f(x)稱為奇函數 充分且必要條件圖形關於原點成對稱 ex:y=x² (3)非奇非偶函數 ②三次函數的基本型 f(x)=ax²+px(a≠0)稱為基本型,所有三次函數 皆可透過基本型平移得到 [定理]f(x)=ax+px的對稱中心是原點 f(-x)=-f(x) 是奇函數,描點時,只要描 X20的部分 ②三次函數的基本型 * PFD fix = ax³ <aco f(x) = ax² + px. ptow a=D,p>o ex: y=x+x 12; a>o p<o ex: y = x²-x s (3)aco/p>oex:y=-x²+x和 (4) aco, p<o ex: y = -x²-x + ◎三次函數 設 a,b,c,d∈R y = f(x)=ax²+bx²+cx+d(a≠0) <key> f(x)=ax3 ①圖形通過(0.0),以原點為對稱圖形 aco 右下降 ② 020 右上升 艹 <key> ax'主導圖形整體趨勢 Px主導圖形在原點附近行為 <key>在原點附近一次項主導 離原點比較遠的地方 @y=a(x-h))+p(x-h)+k(標準型) ·對稱中心(hk) ⑥三次函數的配立方 y = ax² + bx² + cx + d(一般型) = a(x-h)3+p(x-h)+k 右h 上K y=ax+px 對稱中心在(h,k).進行多項式的變形 知道h:-20 再使用連續綜合除法 (a+b)) = a3+3a²b+3ab²+b3 (a+b)=a3-30²b+3ab²-63 <p.f>y=ax+bx²+cx+d = a(x*+x)+cx+d 63 • a[x²+30x²x (盅)+3.(点)+(計]+cx+d-b0-200 =a(x++(c-蒜)x+d-2500 = a(x-h)3 + P(x-h)+k ②局部特徵(超近 distance 看圖形) 若三次多項式f(x)表示成(x-h)的多項式形式為 fxs=a(x-h)² + b(x-h)² + c(x-h)+d 則f(x)圖形在x-h附近的局部 特徵近似於直線y=c(x-h)+d @廣域特徵(從很遠的地方看圖形) 2F 10F <key> f(x)=ax²+bx+cx+dl 其廣域特徵函數是 101 F 當x$0時y=ax²+bx+cx+d =ax²(++++++ 當1x1很大時⇒文→口 口
ページ11:
ch 11. 多項式不等式 一、多項式函數的圖形 ①連續不斷 ②a>0 右上升 a<0 右下降(領導係數) 二、多項式不等式 21- 次不等式 (3)高次不等式 (2)二次不等式 ⑥一次不等式 ax+b>o(a≠0) (1)若a>0⇒ x (2) a<o = x <- ă 号 ⑥二次不等式 ·(x-a)(x-B)=0 ax²+bx+c=O(a≠0)因式分解 ① 十字交乘公式解 D = b²-4acx == (3) D>O (2) (3) D = 0 D<O 恆正 -bb-4ac 29 ex 有兩相異實根 →X 有兩相等實根 •x 無實數根 ◎高次不等式⇒畫圖找範圍 當實數X使得f(x)>0. ②不等式的解 實數X稱f(x)的解 <h f(x)>0⇒y坐標 20 正號 正號區 區十 負號區. =>點在X軸上方(不含x軸) (2) f(x)≤0⇒y坐標≤0 等號區 > 點在X軸下方(含x軸) D = b2-4ac X>X or X<B f(x)>0⇒ 圖形X軸上方 D20 有兩相異實數解f(x)=0⇒圖形X軸下方(含x軸) D = D 有兩相等實根 f(x)20⇒ X為所有實數,但x≠d DKO 恆正 f(x)≤0⇒x = x 好奇穿偶不穿
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