Question

🤍

2枚めの四角の部分は3枚めの意味だと分かったんですけど、

P(x)を(x-1)(x ^2 + x + 2)で割った余りをさらに(x + x + 2)で割ると、その余りはP(x)を(x^2 + x + 2)割った余りと一致します。

なぜ一致するのですか？？

整式 て) をュ

の(ぐふ) を (x

・アG) を (>ー)(Gデエキェオの で割ったと

を OG), 余りを goビエxc とおくと

アニなー)Gコキテ+の0のgr"キな二ど

と表すことができぁる

な) をェー1 で補ったときの余りが 2 であるから。
PQ①) = 2

よって   が2 ①

 

の*士テすc王g(デ二テ二の十(5一のァ十c一2

より

アで) = (タオテオ2の(とー1D0(⑦)二4
士(5一のァ十c一2g
であるから

ーー ②

 

!

P(x)を(x-1)(x^+x+2)で割った余りをさらに(x^+x+2)で
割ると、その余りはP(x)を(x^+x+2)割った余りと一致
します。 なのでその比較をすることでa,b,cの値が求
められます。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

としさん

P(x) = (x-1)(x²+x+2)Q(x) + ax²+bx+c
とします。

この式を加工すると
P(x) = (x²+x+2){(x-1)Q(x)} + ax²+bx+c　

(x²+x+2){(x-1)Q(x)} 部分は x²+x+2 の倍数なので "x²+x+2 で割り切れます"

なので P(x) を x²+x+2 で割った余りと
ax²+bx+c　を x²+x+2 で割った余りは 同じとなるはずです。

🤍

最後の2行の「なので〜」につながる理由が分かりません。

ほんとに馬鹿すぎて申し訳ないです。

としさん

P(x) = (x²+x+2){(x-1)Q(x)} + ax²+bx+c

の (x-1)Q(x) を R(x) と置くと

P(x) = (x²+x+2)R(x) + ax²+bx+c

ここで 両辺を "(x²+x+2) で 割った余り"　だけに着目します。

※ P(x)を (x²+x+2) で割ったあまりと、"(x²+x+2)R(x) + ax²+bx+c"を (x²+x+2)
　　で割った余りは　等しいはずです。
　　　100 = 99 + 1 とすると
　　　　100を3で割った余りと、"99+1"を3で割った余りが等しいことと同じです。

右辺の (x²+x+2)R(x) の部分は (x²+x+2)で割り切れるので 余り0　です。

ax²+bx+c　は ax²+bx+c = a(x²+x+2) + (b-a)x+(c-2a) と変形できるので
　余りは (b-a)x+(c-2a) です。①

つまり 右辺を(x²+x+2)で割った余りは 0 + (b-a)x+(c-2a) となります。

これは 左辺を(x²+x+2)で割った余りと等しいはずなので

P(x) を (x²+x+2)で割った余りは (b-a)x+(c-2a) です。

この"(b-a)x+(c-2a)"はもともと何だったのかを考えると、①の
　「ax²+bx+c を (x²+x+2)で割った余りのこと」でした。

つまり

P(x) を (x²+x+2)で割った余りと ax²+bx+c を(x²+x+2)で割った余りは等しくなります。