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x = √5 + √2, y = √5 - √2 を
x² + y² に代入して、そのまま求めてもいいんですが、解答では少し工夫を凝らした回りくどいことをしています。
x,yに関する次の特徴を利用しています。
① x + y = (√5 + √2) + (√5 - √2) = 2√5
xy = (√5 + √2)(√5 - √2) = 5 - 2 = 3
と、x+y, xyが簡単な数になる。
②2乗の公式(x+y)²=x²+2xy+y²を変形すると
x²+y²=(x+y)²-xy
のようにx+y, xyの組み合わせで表せる。
※詳しくは高校等でやることですが、x²+y²=y²+x²のようにxとyを入れ替えても同じ式になるものを対称式といい、対称式は必ずx+y, xyの2つを使って表すことができる。
例)x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)など。
