Question

…

｢次の方程式の整数解をすべて求めなさい。｣
という問題です。自分なりに解こうとして教科書を見
たのですがいまいち理解出来ませんでした･･･
どなたか解き方を教えてくれませんか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

まず、因数分解の復習で
xy-3x-2y+6
などを因数分解できないと、解けるはずがありません。
こういうのは、「最低次数の文字について整理」とやったと思います。xについて整理すれば(yでもできる)
x(y-3)-(2y+6)
x(y-3)-2(y-3)
(x-2)(y-3)
となりますね。

整数の問題では「積を作りたい」という意識を持つことが大切です。そして、因数分解というのは積を作ることなので、まさしくこれを見たら「因数分解できひん？」と思わないといけないです。
(4)を例にあげます。
xy-4x-y=6
これを見て因数分解したいからxについて整理します。
x(y-4)-y-6=0
さっきみたいにうまいことy-4でくくれません。でも、くくれぬなら無理矢理くくろうという秀吉的発想で、無理矢理くくります。感覚的には平方完成と同じですね。y-4を作り出せればさっきみたいに因数分解できそうですね。
x(y-4)-y-6=0
を無理矢理
x(y-4)-(y-4)
にしたら-6だったところが+4になってしまったので-10して調整します。
x(y-4)-y-6=0
x(y-4)-(y-4)-10=0
(x-1)(y-4)=10
ここまでこれば、あとは数えだすだけです。
かけて10になるのは(x-1,y-4)=(1,10)(2,5)(5,2)(10,1)(-1,-10)(-2,-5)(-5,-2)(-10,-1)だけなので、それぞれ+1,+4すれば(x,y)=(2,14)(3,9)...
です。

慣れてくれば次のようにできます。
xy-4x-y-6=0
xyがあるから
(x )(y )
の土台完成。
xとペアになるのは-4だから
(x )(y-4)
yとペアになるのは-1だから
(x-1)(y-4)
これだと定数が4
-6にしたいから10引いて
(x-1)(y-4)-10=0
(x-1)(y-4)=10

同様に(3)や他の問題もやってみてください。

ブドウくん

訂正
x(y-3)-(2y-6) ←+6 ✕ -6 ○
x(y-3)-2(y-3)
(x-2)(y-3)

Answer 2

数弱(数学メインで回答します)

積の形に変形して因数の組み合わせで整数解を考えますね。(3)
xy+x-3y=5
(x. )(y. )←最初はこんな形にして無理やり積の形に持ち込みたいと考える。
(x-3)(y+1)+3=5
(x-3)(y+1)=2
よって
(x-3,y+1)=(1,2),(2,1),(-1,-2),(-2,-1)
よって(x,y)=(4,1),(5,0),(2,-3),(1,-2)
(4)xy-4x-y=6
(x-1)(y-4)-4=6
(x-1)(y-4)=10
よって、(x-1,y-4)=(1,10),(2,5),(5,2),(10,1),(-1,-10),(-2,-5),(-5,-2),(-10,-1)
よって、(x,y)=(2,14),(3,9),(6,6),(11,5),(0,-6),(-1,-1),(-4,2),(-9,3)
わからなかったり間違っていたりしたらお声かけ下さい。
計算ミスしている可能性もあるので、検算はしてみてください。