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十の位以上は10で割れるので、10を法にして求めればよい。
27^10を10で割ったあまりは
27÷10=3あまり-3より、
27^10≡(-3)^10(mod10)
負の数を偶数回かけるので、
(-3)^10=3^10
3^10は(3×3)^5と見ることができ、
9÷10=1あまり-1より、
3^10=9^5=9×9^4≡9×(-1)^4(mod10)
負の数を偶数回かけるので、
9×(-1)^4=9×1^4=9
よって、一の位は9
こういう問題の、最後の乗は、1つだけ、そのままで、残りを1に直すんですか？
奇数乗だったので個人的にはその方が解きやすいかと。
解答では負でも計算してましたが、私は正の数だけの方が間違えにくい気がします。
27^10≡7^10=49^5≡9^5=9×9^4=9×81^2≡9×1^2=9(mod10)
解き方はあまりを負で表現しても正の数だけで解いても答えは一緒なので解きやすいものを見つけてみてください。
分かりました。ありがとうございます。助かりました。
10が法のとき、-1は10-1=9より
-1≡9(mod10)
もうひとつ、この式について、質問なんですが、
左辺の-1をmodで引くと右辺の合同の数が出てくる性質なんですか？
10で割った余りが-1なので、
この数をxとすると
x÷10=kあまり-1=k-1あまり10+(-1)
すなわちk-1あまり9
ということで「10-1=9より」と添えました。
基本的には余りが負の時は法となる数字にあまりを出せば正の数での余りとなります。
x÷10=kあまり-1=k-1あまり10+(-1)
とありますが、k-1あまり10+(-1)の式は
x÷10=kあまり-1をどう変形したら、こうなるのでしょうか？何度も申し訳ないのですが、教えてください
x÷10の商をkとすると、
x=10k-1と表せます。
このとき、10k=10(k-1)+10と表せるので、
x=10(k-1)+10-1=10(k-1)+9
よって、商が1減るごとにあまりは10増える。
なので
x÷10=k-1あまり9です。
ありがとうございました!!
途中式間違ってました。
9^5≡(-1)^5=-1(mod10)
10が法のとき、-1は10-1=9より
-1≡9(mod10)
よって9