Question

yuna

この問題の解き方を教えてほしいです！

数ⅱb

Answer 1

としさん

こんな感じでしょうか。計算ミスあったらごめんなさい。

2+i と共役な複素数は 2-i 。

(2+i)+(2-i) = 4
(2+i)(2-i) = 5
より、解と係数の関係から x=2+i,2-i を解に持つ2次方程式は

x² - 4x + 5 = 0 である。①

よって f(x) は x² - 4x + 5 で割り切れるので

f(x) = (x² - 4x + 5){x² + 4x + (p+11)} + (4p+q+24)x + (r-5p-55)

4p+q+24=0 より q = -4p - 24　②
r-5p-55=0　より r = 5p + 55　③

f(x) = (x² - 4x + 5){x² + 4x + (p+11)} が 相異なる4個の解を持つには、

x² + 4x + (p+11) = 0 が重解を持たない。
　かつ
x² + 4x + (p+11) = 0 が x=2±i を解に持たない。

解と係数の関係より x=2±i は解にならないことが判っているので、あとは重解を持たないようにすればよい。
重解を持たない　⇒　判別式≠0

D/4 = 2² - (p+11) = - 7 - p ≠ 0

∴ p ≠ -7　④

|(2+i)| = √{(2+i)(2-i)} = √5 より

x² + 4x + (p+11) = 0 の解α,βの絶対値も√5になる必要がある。

解と係数の関係より αβ = (p+11) なので |α| = √(p+11) = √5

p+11 = 5 より p=-6　⑤