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x,yが正としても一般性は崩れないので、その前提で議論する。
解としては、(p,x,y)=(7,2,5)
p=2を満たす整数x,yは存在しない。これを踏まえて、以下のように式変形する。
p(p-1)=p^2-p=2(y^2- x^2)=2(y-x)(y+x)
pは右辺の因数のうち、最も大きいものであるはずだから(x+y)の因数である。
ここで、p>xであり、p>yであることは明らかだから、p=x+y。なぜなら、pは素数であるから、k(x+y)（kは定数）となるのはおかしいからである。
よって、2(y-x)=p-1すなわち、y=3x-1である
これと、p=2x^2-1を、2番目の与式に代入して
（ここから入力だるいので計算略で最終的に）
4x^4-22x^2+12x=0
x(x-2)(x^2+x-2/3)=0
これを満たす正整数xは2のみ
あとは順々に代入して行って、最初の解を得ます
質問は受け付けます
とても分かりやすい解説ありがとうございます！